Topologia I, 27.9.96

Tarea num. 6 (Fecha de entrega 4.10.96)

1. Sea C^{∗} el conjunto de los complejos distintos de 0, T = {z ∈ C | |z| = 1}.

a) Prueba que C^{∗} es un grupo topologico (respecto a la multiplicacion de numeros complejos y la topologia usual de C), y que T ⊂ C^{∗} es un subgrupo cerrado.

b) Prueba que todos subgrupos compactos de C^{∗} etsan contenidos en T.

c) Prueba que un subgrupo infinito de T es denso. Sugerencia: usando la compacidad de T, existe una sucesion de cauchy de elementos distintos del subgrupo. Asi que para cada ϵ > 0 existen dos elementos distintos x, y en el subgrupo con d(x, y) < ϵ. Usando el hecho que la metrica en T es invariante bajo translaciones, d(gx, gy) = d(x, y), prueba que las potencias de y/x es una ϵ-red en T.

d) Sea h = e^{2πir}, donde r ∈ [0, 1], y H = {h^{n} | n ∈ Z} el subgrupo ciclico generado por h en T. Prueba que H es un grupo finito ssi r es racional, y que todos subgrupos finitos de T se obtienen de esta manera.

e) Sea 1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, ... la sucesion que se obtiene al tomar el primer digito de cada uno de las potencias de 2 (en base 10). Prueba que 7 aparece una infinidad de veces. Sugerencia: r = log_{10} 2 es irracional, asi que sus multiples (mod 1) son densos en [0, 1], y en particular existe una infinidad de ellos en el segmento [log_{10} 7, log_{10} 8).

2. Considera R como un grupo aditivo.

a) Prueba que es un grupo topologico, respeto a la topologia usual de R.

b) Prueba que si G ⊂ R es un subgrupo cerrado distinto de R, entonces existe un a > 0 tal que G = aZ.

c) Sea H ⊂ T el subgrupo generado en T por h = e^{2πir}, r irracional (ver 1d). Prueba que H es isomorfo, como un grupo, al grupo Z ⊂ R, pero no como grupo topologico. (Isomorfismo de grupos topologicos: un isomrfismo de grupos que es un homeomorfismo en lo mismo tiempo).

3. Sea G un grupo topologico, H ⊂ G un subgrupo.

a) Prueba que H, con la topologia inducida por G, es un grupo topologico.

b) Sea X = G/H el espacio cociente de las clases laterales {xH} con la topologia cociente. Prueba que la accion G × X → X, xH ↦ gxH, es continua.

c) Prueba que si H es un subgrupo normal, entonces G/H, con la topologia cociente, es un grupo topologico.

d) Prueba que el grupo cociente R/Z es isomorfo, como grupo topologico, a T.