Topologia I, 20.9.96

Tarea num. 5 (Fecha de entrega 27.9.96)

1. a) Prueba que cada funcion continua [0, 1] → [0, 1] tiene un punto fijo.

b) Sea X un espacio topologico no conexo. Prueba que existe una funcion continua X → X sin puntos fijos.

c) Encuentra un ejemplo de un espacio conexo X con una funcion continua X → X sin puntos fijos.

d) Sea X un espacio topologico. Prueba que X es conexo ssi cada funcion continua de X a un espacio discreto es constante.

e) Sea X un espacio topologico y f : X → R una funcion localmente constane (i.e. cada punto en X posee una vicindad en donde f es constante). Prueba que si X es conexo entonces f es constante, y da un contra-ejemplo en caso que X no es conexo.

2. Prueba que la frontera de una bola en R^{n}, n ≥ 2, o l_{2}, es conexa.

3. Prueba que un espacio topologico metrizable que es la imagen continua de un espacio compacto localmente conexo es localmente conexo. (Localmente conexo: cada vecindad de cada punto contiene una vecindad conexa).

4. Sea X un espacio metrico , x, y ∈ X y ϵ > 0. Una ϵ-cadena entre x y y consiste en una sucesion finita de puntos x_{1}, x_{2}, ..., x_{n} tal que x_{1} = x, x_{n} = y y d(x_{i}, x_{i+1}) < ϵ, para todo i = 1, 2, ..., n − 1.

a) Si X es conexo prueba que para cada dos puntos x, y ∈ X y ϵ > 0 existe una ϵ-cadena entre x y y.

b) Prueba que si X es compacto y si para cada dos puntos x, y ∈ X y ϵ > 0 existe una ϵ-cadena entre x y y entonces X es conexo.

c) Da un contra-ejemplo al inciso anterior para X no compacto. Sugerencias: para a): fija x y prueba que {z| existe una ϵ-cadena entre x y z} es un subconjunto abierto y cerrado en X. Para b):, prueba que si X = F_{1} ∪ F_{2} con F_{1}, F_{2} cerrados disjuntos y no vacios, entonces d(F_{1}, F_{2}) := inf{d(x_{1}, x_{2})|x_{i} ∈ F_{i}} > 0.

5. Sea X un espacio topologico y x ∈ X.

a) Prueba que la componente conexa determinada por x es un cerrado en X.

b) Prueba que cada conjunto abierto-cerrado (abierto y tambien cerrado) que contiene a x contiene a la componente conexa determinada por x.

c) Prueba que cada subconjunto abierto-cerrado en X es una union de componentes conexas de X. d)^{∗} Prueba que si X es compacto metrizable entonces la componente conexa que contiene a x es la interseccion de todos los abiertos-cerrados que contienen a x. e)^{∗} Encuentra un contra-ejemplo al inciso anterior para X no compacto.

6. a) Sea F un cerrado en R , K un subconjunto convexo en R^{n} o l_{2} y f : F → K una funcion continua. Prueba que existe una extension continua de f a una funcion continua de R a K. Sugerencia: El complemento de F es una union disjunta numerable de intervalos abiertos. En cada uno de estos intervalos puedes extender por segmentos de rectos.

b) Sea X el cubo {(x_{1}, ..., x_{n}) ∈ R^{n} | 0 ≤ x_{i} ≤ 1, i = 1, 2, ...n} en R^{n}. Prueba que existe una funcion continua f : [0, 1] → X que es sobre. Sugerencia: define f primero en el conjuto de Cantor Δ ⊂ [0, 1], luego usa a). c)^{∗} Describe un ejemplo concreto del mapeo en b) para n = 2.