Topologia I, 13.9.96

Tarea num. 4 (Fecha de entrega 20.9.96)

1. Sea X un espacio metrico acotado. Para un x ∈ X y A ⊂ X definimos d(x, A) = inf{d(x, a) | a ∈ A}. Sea B ⊂ X. Definimos σ(A, B) a max{ sup_{x∈A} d(x, B) , sup_{y∈B} d(y, A)}.

a) Prueba que σ es una seudo-metrica sobre el espacio P (X) de todos los subconjuntos no vacios en X (ver tarea num. 1, problema 6).

b) Prueba que σ, restringida al espacio 2^{X} ⊂ P (X) de los subconjuntos cerrados no vacios en X, es una metrica (se llama la metrica de Hausdorff).

c) Prueba que el espacio metrico 2^{X} en b) es isometrico al espacio metrico que se obtiene del espacio seudometrico P (X) en a) al pasar a clases de equivalencia.

d) Prueba que si X es completo entonces 2^{X} tambien es completo. Sugerencia: Sea \{A_{i}\} una sucesion de Cauchy. Prueba que se converge a ⋂_{k=1}^{∞} \overline{⋃_{i=k}^{∞} A_{i}}.

e) Un espacio topologico es totalmente acotado si para cada ϵ > 0 existe una ϵ-red finita. Prueba que si X es totalmente acotado entonces 2^{X} tambien es totalmente acotado. Sugerencia: Sea ϵ > 0. Prueba que si A ⊂ X es una ϵ-red finita entonces P (A) ⊂ 2^{X} tambien es.

f) Prueba que si X es compacto entonces 2^{X} tambien es compacto. Sugerencia: Usar tarea num. 3, problemas 3a y 4, y el inciso anterior.

2. Un espacio topologico X es σ-compacto si existe en X una sucesion {K_{i}} de compactos tal que X = ⋃_{i=1}^{∞} K_{i}.

a) Prueba que un espacio separable y localmente compacto es σ-compacto. (Localmente compacto: cada punto tiene una vicindad compacta. Vicindad de un punto: un conjunto que contiene un abierto que contiene al punto).

b) Prueba que un espacio metrico σ-compacto es separable.

c) Prueba que l_{2} no es σ-compacto.

3. Decide si los enteros Z, con la metrica p-adica, es un espacio topologico compacto.