Topologia I, 6.9.96

Tarea num. 3 (Fecha de entrega 13.9.96)

1. Sea A un subconjunto de un espacio topologico X. Prueba que A es compacto ssi cada cubierta de A por abiertos {G_{α}} en X, A ⊂ ∪_{α}G_{α}, posee una sub-cubierta finita.

2. a) Decide si el subconjunto de R^{3} definido por la ecuacion x^{2} + y^{2} − z^{2} = xy + yz − zx es compacto.

b) Sea K un subconjunto compacto en R^{3}. Definimos un subconjunto A de R^{2} por A = {(x, y)| existe un z ∈ R tal que (x, y, z) ∈ K}. Prueba que A es compacto.

3. Sea X un espacio topologico compacto. Prueba los siguientes:

a) Si X es metrico entonces es completo (cada sucesion de Cauchy converge).

b) Una funcion real continua en X es acotada, y alcanza su minimo y maximo.

c) Si X y Y son metricos y f : X → Y es una funcion continua entonces f es uniformamente continua (i.e. para cada ϵ > 0 existe un δ > 0 tal que si d(x_{1}, x_{2}) < δ entonces d(f(x_{1}), f(x_{2})) < ϵ).

d) Si X es metrico y f : X → X es una isometria (ie d(f(x_{1}), f(x_{2})) = d(x_{1}, x_{2}) para todo x_{1}, x_{2} ∈ X) entonces f(X) = X.

e) Si X es metrico y f : X → X es una funcion que satisface d(f(x_{1}), f(x_{2})) ≥ d(x_{1}, x_{2}) para todo x, y ∈ X entonces f es una isometria.

f) Si X es metrico y f : X → X es una funcion continua que satisface d(f(x), f(y)) < d(x, y) para todo x ≠ y en X entonces f tiene un punto fijo, unico, en X (i.e. un punto x tal que f(x) = x). Encuentra un contra-ejemplo para X no compacto. (Sugerencia: Usar 3.b para la funcion g(x) = d(x, f(x))).

4. Sea X un espacio metrico completo tal que para cada ϵ > 0 existe una ϵ-red finita en X (i.e. una coleccion de puntos x_{1}, x_{2}, ...., x_{n} tal que la union de las bolas abiertas B(x_{i}, ϵ) cubre a todo X). Prueba que X es compacto.

5. Sea A un subconjunto cerrado y acotado en C[0, 1] (con la metrica de supremo). Prueba que A es compacto si es equi-continuo (i.e. para cada ϵ > 0 existe un δ > 0 tal que si |x_{1} − x_{2}| < δ entonces |f(x_{1}) − f(x_{2})| < ϵ para toda f en A). Generaliza para X metrico compacto en lugar de [0, 1].

Sugerencia: usa ϵ-redes finitas en X para ϵ = 1/n, n = 1, 2, .... Dada una sucesion en A, usa un proceso diagonal para obtener una subsucesion que converge en cada punto de la union de estas redes.

6. a) Sean X, Y dos espacio topologico, X_{1}, X_{2} ⊂ X, X_{1} ∪ X_{2} = X, y f : X → Y una funcion tal que sus restricciones a X_{1} y X_{2} son continuas. Prueba que si X_{1}, X_{2} son los dos abiertos, o los dos cerrados, entonces f es continua.

b) Prueba los homeomorfismos RP^{1} ≅ S^{1}, CP^{1} ≅ S^{2}, HP^{1} ≅ S^{4}.