Topologia I, 30.8.96

Tarea num. 2 (Fecha de entrega 6.9.96)

1. Sea A ⊂ X un abierto en un espacio topologico. Prueba que un suconjunto U ⊂ A es abierto en A ssi es abierto en X.

2. Sean X y Y dos espacios topologicos. Demuestra los siguientes incisos:

a. Una funcion f : X → Y es continua ssi f^{−1}(F) es cerrado para todo F ⊂ Y cerrado. b. Si f y g son funciones continuas X → Y, A ⊂ X es denso y Y es Huasdorff (eg metrico), entonces

f|_{A} = g|_{A} implica f = g.

c. Si f : X → Y es continua es cierto que f(U) es abierto para todo U ⊂ X abierto? si no es cierto encuentra un contraejemplo.

3. Sea p un entero primo fijo. Para un entero n ∈ Z, n ≠ 0, definimos su norma p-adica por ||n||_{p} := 1/p^{t}, donde p^{t} es la maxima potencia de p que divida a n. Para n = 0 definimos ||0||_{p} := 0. Por ejemplo, || − 18||_{3} = 1/9 y ||n||_{p} := 1 ssi n y p son primos relativos.

a. Prueba que d_{p}(a, b) := ||a − b||_{p} define una metrica en Z (se llama la metrica p-adica). b. Encuentra las bolas abiertas de radio 1/p^{k} alrededor de 0, k = 0, 1, 2, 3, .... c. Prueba que todas las bolas abiertas son cerrados.

4. En cada caso, decide si el subconjunto A ⊂ X es cerrado, abierto, denso, y encuentra su cerradura y interior.

a. X = R, A = Q − {3/4}. b. X = R, A = numeros diadicos = {x ∈ X | el desarollo de x en base 2 es finito}. c. X = [0, 1], A = {x ∈ X | se puede representar x por un fraccion decimal que no contiene 7 }. d. X = l_{2}, A = {(x_{1}, x_{2}, ...) ∈ l_{2} | Σ|x_{i}| < ∞}. e. X = R^{2}, A = {(x, y) ∈ R^{2} | x^{3} + y^{4} + 5x^{6}y^{7} ≠ 8}. f. X = Z con la metrica 3-adica (ver problema anterior), A = {n ∈ X | n es impar}. g. X = C[0, 1], A = las funciones diferenciables.

5. Sea X un espacio topologico. Prueba los siguientes incisos:

a. A es cerrado ssi ∂A ⊂ A. b. A es abierto ssi ∂A ⋂ A es vacio. c. Si A es abierto o cerrado entonces int ∂A es vacio. d. Encuentra un A ⊂ R tal que int ∂A no es vacio.

6. En este ejercicio damos una demostracion “topologica” a la existencia de numero infinito de primos. Consideramos la topologia en Z generada por las suceciones aritmeticas. (Una sucecion aritmetica (SA) es un conjuntode la forma {an + b | n ∈ Z}, a, b ∈ Z, a ≠ 0). Prueba los siguientes incisos:

a. La interceccion de dos SA‘s es una SA o vacia. En particular, un abierto no vacio es infinito. b. Cada SA es un cerrado. c. El complemento de ⋃_{p} pZ es {1, −1}, donde la union es sobre todos los primos, p = 2, 3, 5, 7, 11, ... . d. De los 3 incisos anteriores concluye que hay un numero infinito de primos!