Topologia I, 15.11.96

Tarea num. 12 (Fecha de entrega 22.11.96)

1. Sea X un espacio topologico y f : S^{n} → X un mapeo continuo, n = 1, 2, .... Prueba que f se extiende a un mapeo continuo R^{n+1} → X ssi f es homotopico a un mapeo constante. Concluye que si X es contraible entonces f se extiende.

2. a) Encuentra el grupo fundamental de C^{∗} (el complemento del origen en el plan complejo C) respecto al punto base 1 ∈ C^{∗}.

b) Sea γ : S^{1} → C^{∗} un mapeo continuo. Prueba que existe un entero unico k tal que γ es homotopico al mapeo z ↦ z^{k}. Este numero se llama el indice de γ respecto al origen (o el “winding number”).

Sugerencia: Puedes usar a), excepto que tienes que cuidar los puntos bases y el tipo de homotopias que usas. Para eso puedes probar el siguiente lemma: sean f_{1}, f_{2} dos mapeos de espacios puntuados (X, x_{0}) → (G, g_{0}), donde G es un grupo topologico, tal que f_{1} ∼ f_{2} no necesariamente relativo al punto base x_{0}. Entonces f_{1} ∼ f_{2} relativo a x_{0}.

c) Prueba que si γ es liso por pedazos entonces el indice esta dado por la integral de linea ∫_{γ} dz/z.

d) Prueba el teorema fundamental del algebra: cada polinomio no constante con coeficientes complejos tiene una raiz compleja.

Sugerencia: Sea p(z) un tal polinomio de grado n > 0. Sea C_{R} el circulo de radio R centrado en el origen. Prueba que para R suficientemente grande p(z) ≠ 0 para z ∈ C_{R} y que p|_{C_{R}} : C_{R} → C^{∗} es homotopico al mapeo z ↦ z^{n}, asi que no es nul-homotopico. Ahora usa problema 1 para concluir que para algun r < R la trayectoria cerrada p|_{C_{r}} debe pasar por el origen.

3. Calcula el grupo fundamental del complemento de una linea recta en R^{3}. (Sugerencia: encuentra un circulo que sea un retracto por deformacion de este espacio).

4^{∗}. Una aplicacion divertida del problema anterior: en cada momento existe sobre la tierra un triangulo equilateral “isotermico” de lado 1000 km, ie la temperatura en los 3 vertices del triangulo mide lo mismo.

Sugerencia. Lo formulamos matematicamente primero: si f : S^{2} → R es una funcion continua y a un numero positivo suficientemente pequeño ( a ≤ \sqrt{3}), entonces existen 3 puntos u_{1}, u_{2}, u_{3} en S^{2} tal que ||u_{i} − u_{j}|| = a para i ≠ j, y f(u_{1}) = f(u_{2}) = f(u_{3}).

Ahora Sea l := {(x_{1}, x_{2}, x_{3}) ∈ R^{3} | x_{1} = x_{2} = x_{3}}. Para cada triangulo, ie tripleta de puntos (u_{1}, u_{2}, u_{3}) en S^{2}, definimos T (u_{1}, u_{2}, u_{3}) := (f(u_{1}), f(u_{2}), f(u_{3})). Tenemos entonces que encontrar un triangulo de lado a en donde el valor de T este en l. Suponemos que no lo hay. Fijamos un triangulo (u_{1}, u_{2}, u_{3}) de lado a donde u_{1} es un punto maximo de f. Para cada e ∈ S^{2} denotamos por R_{e}(θ) : S^{2} → S^{2}, la rotacion alrededor del eje e por un angulo θ (usando la “ley de la mano derecha” para definir la direccion de la rotacion). Sea e(s), 0 ≤ s ≤ 1 una trayectoria que conecta a u_{1} con “el centro” del triangulo (u_{1}, u_{2}, u_{3}) (de hecho hay dos tales centros; escoge uno). Ahora define γ : S^{1} × I → R^{3} − l como γ(θ, s) := T (R_{e(s)}(θ)u_{1}, R_{e(s)}(θ)u_{2}, R_{e(s)}(θ)u_{3}). Sea γ_{s} := γ|_{S^{1}×{s}} : S^{1} → R^{3} − l. Prueba que γ_{0} es nul-homotopico, porque su imagen esta en el conjunto convexo {x_{1} ≥ x_{2}} ∩ {x_{1} ≥ x_{3}}, y que γ_{1} no es nul-homotopico.