Topologia I, 8.11.96

Tarea num. 11 (Fecha de entrega 15.11.96)

1. Sea p : S^{1} → S^{1} el mapeo dado por z ↦ z^{k}, donde k es un numero entero fijo.

a) Prueba que es un mapeo de cubierta.

b) Calcula el homomorfismo p_{∗} : π_{1}(S^{1}, 1) → π_{1}(S^{1}, 1).

2. Uno de los mapeos siguientes no es una cubierta. Encuentralo, y prueba que el resto son cubiertas.

a) C^{∗} → C^{∗} dado por z ↦ z^{k}, k ∈ Z − 0.

b) R^{n} → T^{n} dado por (t_{1}, ..., t_{n}) ↦ (e^{2πit_{1}}, ..., e^{2πit_{n}}).

c) (0, 1) → S^{1} dado por t ↦ e^{2πi3t}.

d) Sea p(z) un polinomio complejo. Sean z_{1}, ..., z_{k} las raizes de la derivada p′(z), w_{i} = p(z_{i}), i = 1, ...k. Define C − {z_{1}, ..., z_{k}} → C − {w_{1}, ..., w_{k}} por z ↦ p(z).

e) G → G/H la proyeccion canonica, donde G es un grupo topologico y H es un subgrupo discreto. (Sugerencia: Prueba primero que existe una vecindad de la identidad de G que proyecta homeomorficamente a una vecindad del punto correspondiente en G/H).

3. Leer seccion 4, p. 42, en el libro de Massey (“A basic course in algebraic topology”, en reserva en la biblioteca) y responder 4.4, 4.6, 4.8, 4.10.