Topologia I, 1.11.96

Tarea num. 10 (Fecha de entrega 8.11.96)

1. Sean X, Y, Z tres espacios topologicos, f_{0} y f_{1} mapeos continuos X → Y, g_{0} y g_{1} mapeos continuos Y → Z. Prueba que si f_{0} es homotopico a f_{1} y g_{0} es homotopico a g_{1} entonces la composicion g_{0} ∘ f_{0} es homotopica a g_{1} ∘ f_{1}. Formaliza y prueba tambien una version “relativa” (para pares topologicos).

2. Sea X un espacio topologico arco-conexo. Prueba que para cualquier dos puntos x_{0}, x_{1} ∈ X, los grupos π_{1}(X, x_{0}) y π_{1}(X, x_{1}) son isomorfos.

Sugerencia: fija una trayectoria α entre x_{0} y x_{1} y define π_{1}(X, x_{0}) → π_{1}(X, x_{1}) por [γ] ↦ [α^{−1}γα].

3. Sean X, Y dos espacios topologicos, x_{0} ∈ X, y_{0} ∈ Y. Prueba que el grupo π_{1}(X × Y, (x_{0}, y_{0})) es isomorfo al producto directo de grupos π_{1}(X, x_{0}) × π_{1}(Y, y_{0}).

4. Sean (X, x_{0}), (Y, y_{0}) dos espacios topologicos puntuados, f : X → Y un mapeo continuo tal que f(x_{0}) = y_{0}. Define un mapeo f_{∗} : π_{1}(X, x_{0}) → π_{1}(Y, y_{0}) por [γ] ↦ [f ∘ γ]. Prueba que

a) f_{∗} esta bien definido.

b) f_{∗} es un homomrfismo de grupos.

c) Para la identidad id : X → X, tenemos que id_{∗} : π_{1}(X, x_{0}) → π_{1}(X, x_{0}) es la identidad.

d) Si f : (X, x_{0}) → (Y, y_{0}), g : (Y, y_{0}) → (Z, z_{0}) son mapeos continuos de espacios puntuados (ie f(x_{0}) = y_{0}, g(y_{0}) = z_{0}) entonces (g ∘ f)_{∗} = g_{∗} ∘ f_{∗} (“la regla de la cadena”).

e) Sean f_{0}, f_{1} dos mapeos de pares topologicos (X, x_{0}) → (Y, y_{0}). Entonces si f_{0} y f_{1} son homotopicos (relativo a x_{0}), entonces (f_{0})_{∗} = (f_{1})_{∗}.

f) Sea f : (X, x_{0}) → (Y, y_{0}) un mapeo continuo de pares tal que existe un mapeo continuo de pares g : (Y, y_{0}) → (X, x_{0}) tal que g ∘ f ∼ id_{X} y f ∘ g ∼ id_{Y} (homotopia relativo a x_{0}, y_{0}, resp.). Tal f se llama una “equivalencia homotopica”. Entonces f_{∗} : π_{1}(X, x_{0}) → π_{1}(Y, y_{0}) es un isomorfismo de grupos.

g) R^{n} es homotopicamente equivalente a un punto.

5)^{∗} Sea G un grupo topologico. Prueba que el grupo fundamental de G, respecto a cualquier punto base, es abeliano.