Topologia I, 22.8.96

Tarea num. 1 (Fecha de entrega: Los priemros 3 problemas martes 27.8.96. El resto viernes 30.8.96)

1. Sea (X, d) un espacio metrico, A ⊂ X un subconjunto. Sea T la topologia inducida en X por la metrica d, y d̃la metrica inducida en A por d. Prueba que la topologia inducida en A por T coincide con la topologia inducida en A por d̃.

2. Definicion: un espacio topologico X es Hausdorff si para cualquier dos puntos x, y ∈ X existen unos abiertos disjuntos A y B tal que x ∈ A y y ∈ B.

a) Prueba que R, con la topologia estandar, es Hausdorff.

b) Prueba que cualquier espacio metrico es Hausdorff (respecto a la topologia inducida por la metrica).

c) Da un ejemplo de un espacio topologico no Hausdorff.

3. Sea X un conjunto. Definimos una topologia en X: los cerrados son los conjuntos finitos y todo X. Prueba que eso define una topologia en X.

4. Sea (X, d) un espacio metrico. Prueba que d/(1 + d) es una metrica equivalente a d (ie induce la misma topologia en X como d). Concluye que cualquier espacio metrizable admite una metrica acotada.

5. a) Para todo x, y ∈ R^{n} definimos d(x, y) = \sqrt{∑_{i=1}^{n}(x_{i} − y_{i})^{2}}. Prueba que d es una metrica en R^{n}.

b) Sea l_{2} el espacio de todas las sucesiones infinitas de numeros reales x = (x_{1}, x_{2}, ...) que satisfacen ∑_{i=1}^{∞} x_{i}^{2} < ∞, y define d(x, y) = \sqrt{∑_{i=1}^{∞}(x_{i} − y_{i})^{2}}. Prueba que d esta bien definida (ie < ∞) y define una metrica en l_{2}.

Sugerencia. Prueba que en un espacio vectorial con producto escalar (x, y) (ie bilineal, simetrico, y positivo definitivo) la formula d(x, y) = ||x − y||, donde ||v|| = \sqrt{(v, v)}, define una metrica. Para la desigualdad de triangulo es suficiente probar ||v + w|| ≤ ||v|| + ||w||. Para eso es suficiente probar la desigualdad de Cauchy-Scwartz (v, w) ≤ ||v|| ||w||. Prueba primero esta desigualdad en el caso particular de un plano euclideano (espacio vectorial de dimension 2 con producto escalar) y en el caso general aplica el caso particular al plano generado por los vectores v y w.

6. Sea X un conjunto. Una seudo-metrica en X es una funcion d_{0} : X × X → R que satisface para todo x, y, z ∈ X

(1) d_{0}(x, y) ≥ 0 y d_{0}(x, x) = 0,

(2) d_{0}(x, y) = d_{0}(y, x),
(3) d_{0}(x, z) ≤ d_{0}(x, y) + d_{0}(y, z),

asi que d_{0} satisface todos los requisitos de una metrica excepto que es posible tener d_{0}(x, y) = 0 sin que x = y. Define una relacion ∼ por x ∼ y ssi d_{0}(x, y) = 0.

a) Prueba que ∼ es una relacion de equivalencia (reflexiva, simetrica, transitiva).

b) Para un x ∈ X denota por [x] la clase de equivalencia de x, ie [x] = {y | y ∼ x}, y por [X] el conjunto de las clases de equivalencias. Definimos d([x], [y]) = d_{0}(x, y). Prueba que d esta bien definida y que es una metrica en [X].

c) Sea X el conjunto de todas las sucesiones de Cauchy de numeros racionales. Para todo x, y ∈ X definimos d_{0}(x, y) = lim |x_{i} − y_{i}|. Prueba que d_{0} es una seudo-metrica.