Topologia I, 23.1.96

Examen Final

El numero al final de cada pregunta denota su valor. Hay que escoger 4 de las 5 problemas cuya suma da 100 puntos.

1. (20 puntos)

a) Sea A un subconjunto de un espacio topologico X. Define: A es de primera categoria. (2)

b) Encuentra un espacio topologico X con un subconjunto A que no es de primera categoria. (5)

c) Decide si los irracionales en los reales es un conjunto G_{δ} (interseccion numerable de abiertos), o F_{σ} (union numerable de cerrados), o ambos. (13)

2. (20 puntos)

a) Sea X un espacio topologico y f : S^{n} → X un mapeo continuo. Prueba que f es homotopico a un mapeo constante ssi f se extiende a un mapeo continuo D^{n+1} → X, donde D^{n+1} es la bola unitaria cerrada en R^{n+1}. (10)

b) Prueba que S^{1} no es una retraccion de D^{2}. (10)

3. (30 puntos)

a) Sea G un grupo topologico y Γ un subgrupo discreto. Prueba que la proyeccion canonica G → G/Γ es una cubierta. (20)

b) Encuentra todos los subgrupos discretos de R. (5)

c) Encuentra todos los subgrupos discretos de S^{1}. (5)

4. (30 puntos) Sea X ⊂ C^{2} el conjunto {(z_{1}, z_{2})|z_{1} ≠ 0, z_{2} ≠ 0}.

a) Decide si X es compacto. (3)

b) Decide si X es arco-conexo. (7)

c) Calcula el grupo fundamental de X respecto al punto base (1, 1) y para cada elemento del grupo encuentra una trayectoria que lo representa. (20)

5. (30 puntos) Calcula el grupo fundamental de RP^{n}, n = 1, 2, .... y para cada elemento del grupo encuentra una trayectoria que lo representa.