Topologia I, 9.12.96

Examen Final

Comentarios:

1. Hay que resolver el primer problema (20 puntos) y suficiente del resto para acumular 100 puntos.

2. Se puede usar, sin probar, cualquier resultado que se probo en la clase (excluyendo la tarea), mientras este claramente formulado.

1. Define los siguientes terminos:

a) Espacio metrico completo. (2)

b) Subconjunto denso en un espacio topologico.(2)

c) La frontera de un subconjunto de un espacio topologico.(2)

d) Espacio topologico de la segunda categoria.(2)

e) Espacio topologico arco-conexo.(2)

f) Espacio topologico compacto.(2)

g) Espacio topologico simplemente conexo.(2)

h) Cubierta de un espacio topologico.(2)

i) El grupo de transformaciones de una cubierta. (2)

j) Accion propiamente discontinua de un grupo en un espacio topologico.(2)

2. Sea X un espacio topologico simplemente conexo y G un grupo actuando propiamente discontinuamente en X.

a) Prueba que X/G es arco-conexo. (5)

b) Prueba que X → X/G es una cubierta. (10)

c) Prueba que G es isomrfo al grupo de transformaciones de la cubierta X → X/G. (20)

d) Prueba que el grupo fundamental de X/G, respecto a cualquier punto base, es isomorfo a G. (25)

3. Prueba la existencia de una funcion continua [0, 1] → R que no es monotona en ningun sub-intervalo. (20)

4. Sea γ : [0, 1] → C^{∗} una trayectoria continua cerrada, ie γ(0) = γ(1). Prueba que existe un entero unico k tal que γ es homotopica, a traves de trayectorias cerradas, a la trayectoria t ↦ e^{2πikt}; ie existe un entero unico k tal que existe un mapeo continuo H : [0, 1] × [0, 1] → C^{∗} tal que H(t, 0) = γ(t), H(t, 1) = e^{2πikt}, y H(0, s) = H(1, s), para todo t, s ∈ [0, 1]. (20)

5. Encuentra el grupo fundamental del complemento de una linea en R^{3} y encuentra para cada elemento de este grupo una trayectoria representativa. (20)

6. Sea X el espacio de todas las funciones diferenciables [0, 1] → R con la metrica de supremo: d(f, g) =sup{|f(x)− g(x)| | x ∈ [0, 1]}. Decide si este espacio es un espacio metrico completo. (20)