Topologia I, 5.11.96

Examen num. 2

1. a) Define “G es un grupo topologico”.

b) Sea G un grupo topologico, X un espacio topologico. Define “G actua continuamente en X”.

c) Prueba que Z (los enteros), es un grupo topologico, con respecto a la topologia discreta y adicion de numeros.

d) Prueba que Z × R → R, (n, x) ↦ n + x, define una accion continua libre de Z en R (son 3 cosas que hay que probar).

e) Prueba que el espacio de las orbitas de la accion en d) es homeomorfo a S^{1}.

2. Definimos una accion del grupo Z (los enteros con la topologia discreta) en S^{1} por a · z = e^{iπ12a/34}z.

a) Prueba que es una accion continua.

b) Prueba que todas las orbitas de la accion son finitas, con lo mismo numero de puntos. Encuentra este numero.

c) Prueba que la accion se factoriza a traves de un grupo ciclico finito, ie existe un k ∈ N tal que Z → Homeo(S^{1}) es la composicion de la proyeccion Z → Z/kZ y una accion continua Z/kZ → Homeo(S^{1}).

d) Prueba que el cociente S^{1}/Z es homeomorfo a S^{1}.