Solución al problema 9 "Elemental"
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20/5/2002, por Daniel López Aguayo, darke@math.com, UNIVERSIDAD DE LAS AMÉRICAS-PUEBLA
Departamento de Física y Matemáticas

En una pelota sólida de madera se hizo un agujero cilíndrico 
(pasando por el centro) que mide 10cm de longitud. 
Encuentra el volumen de la madera que quedó. 

Notemos que el agujero cilíndrico corta la superficie
de la pelota en dos círculos. Sea x el eje que atraviesa
los centros de dichos círculos. El triángulo formado
por el centro del círculo ubicado en el I y IV cuadrante, el
origen y un punto arbitrario (x,y) en el circulo, es un 
triángulo rectángulo. Sea R el radio de la pelota sólida,
por lo tanto la coordenada x del centro del círculo es 
sqrt(R^2-r^2) donde r es el radio del agujero cilíndrico.
Por simetría, el círculo ubicado en los otros dos cuadrantes
es -sqrt(R^2-r^2). Sea x un punto arbitrario en el intervalo
[-sqrt(R^2-r^2),sqrt(R^2-r^2)] La sección transversal
en el plano es perpendicular al eje x en x tiene un radio de
sqrt(R^2-x^2), por ser un triángulo rectángulo. El agujero
circular en el centro de la sección transversal tiene un radio
de r. Por ende, el area de la sección transveral es
A(x)=pi*(R^2-x^2)-pi*r^2=pi*(R^2-r^2-x^2). Entonces el volumen es:

V=pi*integral[(R^2-r^2-x^2)dx desde -sqrt(R^2-r^2) hasta sqrt(R^2-r^2)
por simetría:
V=2*pi*integral((R^2-r^2-x^2)dx) desde 0 hasta sqrt(R^2-r^2)
evaluando esto obtenemos
V=(4/3)*pi*(R^2-r^2)^(3/2) unidades cúbicas, pero notemos que si
la longitud del agujero cilíndrico mide 10 cm de longitud entonces
por el teorema de pitágoras se tendrá que r^2+25=R^2, de forma
que 25=R^2-r^2, así el volumen de la madera que quedó es de:
V=(4/3)*pi*(25)^(3/2)=(4/3)*pi*125=(500/3)*pi
De forma que el volumen de la madera que quedó es de:

(500*pi)/3 centímetros cúbicos.