Parte a) Supongamos que los colores utilizados son blanco y negro. Tomemos tres puntos A,B,C tales que forman un triángulo equilátero. Sin perder generalidad, supongamos que el punto A es de color blanco. Si el punto B es de color blanco, ya terminamos (A y B serían del mismo color); si no, entonces B es negro. Ahora si C es blanco entonces A y C son del mismo color y terminamos, y si C es negro entonces B y C son del mismo color y tambien terminamos.
Parte b) Tomamos cuatro puntos A,B,C,D tales que formen un cuadrado. Si hay tres del mismo color ya terminamos (ellos forman el triángulo rectángulo requerido). Entonces tenemos que dos son de color blanco y los otros dos de color negro. Hay dos maneras distintas de pintar estos puntos:
Caso i) Los vértices opuestos tengan el mismo color.
Trazamos la recta L1 que pasa por un punto negro y es perpendicular a la recta que pasa por
los puntos negros. Después, trazamos la recta L2 que pasa por un punto blanco y es
perpendicular a la recta que pasa por los puntos blancos. Como se muestra en la figura:
Tomamos la interseción de L1 con L2, llamemosle E a este punto. Cualquiera que sea el color de E, se forma un triángulo rectángulo con sus vértices del mismo color.
Caso ii) Los vértices opuestos tengan colores distintos.
Tomamos el punto medio E entre dos puntos de distinto color, que no sean diametralmente
opuestos, como se muestra en la figura:
Cualquiera que sea el color de E, se forma un triángulo rectángulo con sus vértices del mismo color. en el otro caso el punto B es de color negro. Si C es de color blanco, C y A tienen el mismo color. Si C es de color negro, C y B tienen el mismo color.
Segunda solución de la parte b) (por el editor).
Tomamos dos puntos A y B del mismo color, digamos negro (usando por ejemplo la parte a) del problema). Dibujamos ahora un círculo que tiene a AB como un diámetro. Si algún punto C de este círculo, distinto de A y B, es negro, entoneces ABC es un tríangulo rectángulo monocromático y terminamos. Si no, entonces todo el círculo, excepto A y B, es blanco, el cual contiene muchos triángulos rectángulos (cualquier DFG, donde DF es un diámetro).