Solución al problema num. 5

(24 sept 98, por Jorge Agustín Albarrán Morales, Colegio de
Bachilleres del Estado de Morelos P-01)

Llamemos a las líneas L1,L2,L3 y L4, y a las hormigas que caminan
sobre ellas H1,H2,H3 y H4, respectivamente. Suponemos que el unico
encuentro en duda es lo de H3 con H4. Dibujemos una perpendicular al
plano y pensemos en ésta como un eje de tiempo. Como cada una de
las hormigas camina con velocidad constante, las gráficas de su
movimiento son líneas rectas, a las que llamaremos: M1,M2,M3 y
M4. Entonces, el punto (x,y,t) pertenece a la linea Mi si la hormiga
Hi pasó por el punto (x,y) de la linea Li del plano en el tiempo
t. Luego, si dos hormigas, digamos H1 y H2, coinciden a la hora de
pasar por el punto de interseccion de las líneas correspondientes,
L1 y L2, esto implica que las líneas correspondientes en el
espacio, M1 y M2, intersectan.  Análogamente, tenemos que M1 y M2
se intersectan, ambas, con M3.  Esto implica que M3 esta en el plano
detarminado por M1 y M2 (porque tiene dos puntos, sus puntos de
interseccion con M1 y M2, en este plano).  Por el mismo argumento M4
tambien esta en este plano, asi que M3, M4 estan
en el mismo plano. Ahora, si M3 y M4 no intersectan en este plano son
paralelas, y esto implicaria que sus proyecciones al plano horizontal
tambienn son paralelas, a cual contradice las condiciones del
problema, asi que M3 y M4 intersectan. Por lo tanto queda demostrado
que H3 y H4 coincidieron en la 6a intersección.