Solucion al Problema elemental num. 20
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(Por Jose M. Gonzalez-Barrios, IIMAS-UNAM, 20 Apr 1999)

Si hay una esfera es trivial.

Si hay dos, las caras opuestas forman una esfera.

Si hay tres, sean z1=(x1,y1), z2=(x2,y2) y z3=(x3,y3) los puntos de
las esferas que tocan la mesa (no coolineales o se reduce a 2 esferas).

Sea L_ij la recta que pasa por zi y zj, para i distinto de j.
Trazamos semi-rectas sobre la mesa, exteriores al triangulo
{z1,z2,z3}, perpendiculares a L_ij, en zi y zj, para cada i distinto
de j. Nos fijamos en los dos semi-planos definidos en cada vertice del
triangulo por los dos semi-rectas y la recta vertical que pasa por el
vertice. La superfice pintada de la esfera que toca en z_i es
claramente la superficie limitada por los dos semiplanos
correspondienes. Sea alfa_i el angulo formado por estos dos
semiplanos. La suma de de los alfa_i es claramente 360 grados asi que
el area pintado es el area de una esfera.

Observamos que si tenemos por ejemplo 4 esferas y la
posicion de una de ellas es interior al triangulo formado
por las otras tres, esta no puede pintarse en lo absoluto.

Asi en general si hay n esferas basta fijarse en aquellas que son las
mas exteriores, es decir las que forman la envolvente convexa de la
union de las esferas. Los puntos (digamos n) de contacto de estas
esferas con la mesa forman un poligono convexo de n lados y se repite
el mismo argumento que para las tres esferas no coolineales.

Pregunta: Sigue siendo el resultado en dimension 3???