Problema 1 de "Elementales"
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Demuestra que para cualesquiera 6 puntos del plano, la razón entre la
distancia más grande entre cualquier par de puntos y la más corta es por lo
menos la raíz cuadrada de 3.

Solucion  (por Amenauss W. Fox) 
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Sean M y n, la distancia mayor y la menor de todos los pares de puntos,
respectivamente.

Si A, B y C son colineales, B está entre A y C y AB <= BC entonces M/m >=
AC/AB >= 2 > sqrt(3).
Luego, podemos suponer que no 3 son colineales.

De entre los 6 puntos en el plano, P1, ..., P6, tómense aquéllos Pi tales
que, reenumerados si necesario, P1,...,Pn, (3<=n<=6) forman un polígono
convexo que en su interior contiene a los otros puntos. (que ésto sea
posible o no, ya es otra cosa)

Si n=6, alguno de los ángúlos internos es >= 120º. Si 3 < n < 6, existe un
triángulo formado por vértices del polígono, llámese ABC, que contiene a
algún punto O de los restantes. Para éste tenemos que algún ángulo de entre
<AOB, <BOC, ó <COA es >= 120º, supongamos <AOB. Si n = 3, procedemos como el
último enunciado. Así pues, siempre existe un triángulo AOB con un ángulo >=
120º. Supongamos <AOB >= 120º y que <OBA <= 30º (algún ángulo tiene que ser
<= 30º), y nos resta <BAO. Luego (<AOB) >= 120º > (<BAO) >= 30º >= (<OBA).

De las propiedades de "sin", y de la ley de los senos se sigue que:

AB/BC	= sin(<AOB)/sin(<OBA)
	>= sin(<AOB/2 + <AOB/2)/sin(<BAO/2 + <OBA/2)
	>= 2*sin(<AOB/2)cos(<AOB/2)/sin(90º - <AOB/2)
	>= 2*sin(<AOB/2)cos(<AOB/2)/cos(<AOB/2)
	>= 2*sin(<AOB/2)
	>= 2*sin(60º) >= 2*sqrt(3)/2
	= sqrt(3)

Por lo tanto M/m >= AC/AB >= sqrt(3).