- (Nov. 7, 1997) Demuestra que para cualesquiera 6 puntos del
plano, la razón entre la distancia más grande entre cualquier
par de puntos y la más corta es por lo menos la raíz
cuadrada de 3.
Solución
- (Nov. 14, 1997) 50 pulgas y 50 pulgos estan ubicados en el
plano en posición general (no se encuentran 3 sobre la misma
línea recta). Demuestra que es posible trazar 50 segmentos rectos,
cada segmento conectando una pulga con un pulgo, tal que ningún par de
los segmentos se intersecta.
Solución
- (Nov. 24, 1997) Sobre la circunferencia de un círculo se marcan 100
puntos y se trazan todos los segmentos entre pares de puntos (cuerdas). ¿Cuántos puntos de intersección se forman dentro del círculo, suponiendo que
los puntos estan en "posición general" (no hay intersecciones triples)?
Solución
- (Dic. 1, 1997) ¿Cuántas veces aparece el dígito 9 en la
lista de los números 1, 2, 3, . . . , 1998 ?
Solución
- (Dic. 8, 1997) Se encuentran 4 líneas rectas en el plano con 6
puntos de intersección. Sobre cada línea camina una hormiga con
velocidad constante (posiblamente con distintas velocidades en
distintas líneas). Se sabe que en 5 de los 6 puntos de
intersección las dos hormigas correspondientes a las 2 líneas
coincidieron al momento de cruzar la intersección. Demuestra
que también hubo coincidencia en la sexta intersección.
Solución
- (Mar. 10, 1998) Pintamos el plano con dos colores. Demuestra que no importa
como lo pintamos,
a) existen en el plano dos puntos del mismo color
separdos por una distancia de 17 kilómetros;
b) existen en el plano tres puntos del mismo color
que forman los vértices de un triángulo rectángulo.
Solución
- (Mar. 24, 1998) Sean a, b dos enteros no negativos tales que la razón
(a2+b2)/(1 +ab) es un número entero. Demuestra que esta
razón es de hecho el cuadrado de un entero.
- (Apr. 30, 1998)
a) En una piñata hay 400 dulces. ¿De cuántas
maneras se puede distribuir el contenido de la piñata entre 100
niños?
b) En una piñata hay 100 chicles, 100 nueces, 100 globos y
100 dulces. ¿De cuántas maneras se puede distribuir el
contenido de la piñata entre 100 niños?
Solución
- (Mayo 8, 1998) En una pelota sólida de madera se hizo un
agujero cilíndrico (pasando por el centro) que mide 10cm de
longitud. Encuentra el volumen de la madera que quedó.
Solución
- (Junio 19, 1998) Demuestra que existe una infinidad de tripletas
de enteros (a,b,c) que satisfacen
a2+b2=c2, y tales que a,b,c no tienen un
factor común mayor que 1. (Por ejemplo: 32+
42=52.)
Solución
- (Junio 25, 1998) La distancia entre la ciudad de Guanajuato y
Celaya es 100 km. Te encuentras en Guanajuato con 1000 kg de alfalfa y tu misión es transportar con tu burrito alguna cantidad de esta alfalfa a Celaya, pero tienes dos problemas:
- tu burrito no camina a menos que esté comiendo todo
el tiempo, 1 kg de alfalfa por cada km que
camina;
- tu burrito puede cargar un máximo de 100
kg de alfalfa..
Ahora la pregunta es si puedes llevar alguna cantidad (distinta de
cero...) de alfalfa de la ciudad de Guanajuato a Celaya, y en caso que
sí, ¿cuál es dicha cantidad máxima?
- (Julio 3, 1998) Tienes 9 anillos que parecen idénticos, pero 6
son de latón y 3 son de oro (más pesado que el
latón). ¿Puedes averiguar cuáles son los de oro, usando
una balanza no más que 3 veces?
- (Julio 15, 1998)
Demuestra que 232 + 1 no es un número primo.
Solución
- (Julio 26, 1998)
Pepito estaba sospechando desde hace timepo que está sufriendo de la rarísima
y terrible enfermedad llamada Barbanorexia Picuda. Entonces hizo un exámen de
sangre y salió positivo. Se espantó y fue a buscar
más información en la internet. Resulta que 0.01% de la población (uno en 10 mil) tiene
esta enfremedad, pero resulta también que el
exámen que hizo no es 100% confiable, sino que tiene 1% de probabilidades
de ser "falso positivo" (o sea, hay una probabilidad de 1 en 100 que a
alguien sin la enfermedad la prueba le indique que está enfermo), y 1% de
chance de "falso negativo". Pepito se depremió mucho hasta que se sentó a
calcular probablididades....
La pregunta entonces es: ¿Cuál es la probabilidad de que Pepito esté sano
(o sea, que no tenga la
Barbanorexia Picuda)?
Solución
- (Sept 3, 1998)
- Encuentra los últimos dos dígitos de 21998.
- Encuentra los últimos tres dígitos de 21998.
- Encuentra los últimos cinco dígitos de 21998.
Solución
- (Oct 26, 1998)
Encuentra la figura en el plano con area maximal que se puede formar con 12
barras de longitud 1 metro cada una.
- (Nov. 6, 1998)
Pepito debe encontrar de tarea la raíz cúbica de un número de seis dígitos.
Al llegar a su casa se dió cuenta que por accidente las cifras segunda y
tercera de derecha a izquierda eran ilegibles, pero sabe que la raíz debe
ser un número entero. ¿Puede Pepito resolver su tarea? En caso afirmativo
¿Cómo?
Solución
- (Dic. 17, 1998)
Dada una lista de intervalos I1, . . . , In,
con la propiedad que cada dos intervalos de la lista tienen un punto en comun,
demuestra que todos los intervalos tienen un punto en comun.
Solución
- (Ene. 19, 1999)
Dada una lista de conjuntos convexos en el plano (ver
definición al final del problema) K1, . . . ,
Kn, con la propiedad que cada tres conjuntos de la
lista tienen un punto en común, demuestra que todos los
conjuntos tienen un punto en común.
(Definición: Un
conjunto en el plano se llama convexo, si para qualesquiera dos puntos
del conjunto el segmento que los conecta también está en
el conjunto. Por ejemplo, un disco en el plano es un conjunto
convexo, pero su circunferencia no lo es.)
- (Abr. 19, 1999)
Sobre una mesa están ubicadas algunas esferas blancas, todas de igual
tamaño. Se pinta en negro la parte de la superficie de cada una de las
esferas que no es visible desde ningún punto de las otras esferas.
Demuestra que el área total pintada en negro es igual al área de la
superficie de una de las esferas.
Solución
- (Oct. 5, 1999)
Un conjunto finito de puntos en el plano tiene la propiedad que para
cualquier par de puntos del conjunto, se encuentra sobre la linea
generada por ellos un tercer punto del conjunto. Demuestra que todos
los puntos del conjunto se encuentran sobre una sola linea.
- (Oct. 21, 1999) Te enseño tres puertas, digamos A, B y
C. Te digo que atras de una de ellas está un coche, atras de las otras
dos chivas. Te doy chance de escoger una puerta, abrirla, y llevar
lo que tiene atras. Digamos que escogiste la A. Antes de abrir la
A te abro una de las puertas que no escogiste, digamos B, y te
enseño
una chiva a tras de ella. Ahora te digo que antes de abrirte la
puerta que elegiste (la A) te doy la
opción
de cambiarla a la C. La pregunta es: suponiendo que prefieres
un coche que chiva y crees a todo lo que te digo, ¿que te
conviene hacer, quedarte con la A, cambiar a C, o no importa?
Solución
- (Oct. 26, 1999) Considera la sucesión
2,4,8,1,3,6,1,... (son las primeras cifras de la sucesión
de potencias de 2: 2,4,8,16,32,...).
(a) ¿Aparece en esta sucesión el número 7?
(b) En caso que si, ¿que aparece "mas", 7 ó 8?
(Esto quiere decir lo siguiente: consideramos en cada segmento
finito de la sucesión la razon entre el número de
veces que aparece 7 en este segmento y el número total de
elementos en este segmento. Luego tomamos segmentos cada vez mas grandes,
siempre calculando esta razon, y finalmente, dejando al
número de elementos en el segmento ir al infinito,
tomamos el limite de la razon, o el
limite superior en caso que este limite no existe.
A este
limite llamamos "la proporcion de 7 en la sucesion". La pregunta es
entonces, si la proporcion de 7 en la sucesion es mas grande que
la de 8 o vice versa o son iguales.)
(c) Existe una potencia de 2 que empieza con las cifras 1999... ?
- (Nov. 13, 1999)
Sea X el conjunto de todos los numeros enteros de la forma
pq, donde p y q son dos primos distintos. Sea
A cualquier subconjunto de X y B su complemento (en
X). Demuestra que existe un conjunto infinito P de numeros primos
tal que todos los numeros pq, con p y q
(distintos) en
P, estan en A, o todos estan en B.
- Se lanza una moneda hasta que sale sol. ¿Cuantas veces
se lanza la moneda (en promedio)?
Solución (PDF)
NOTA: existe una solucion "elemental" a este problema.
- (Oct. 19, 2000) Tenemos una linea de 1000 focos
y 1000 sapos. Si un sapo brinca sobre un foco prendido, el foco
se apaga, si brinca sobre un foco apagado el foco se prende.
Incialmente, todos los focos estan PRENDIDOS. Ahora:
- El primer sapo brinca
sobre todos los focos.
- El segundo sapo
brinca solamente sobre cada segundo foco, o sea, sobre focos
no. 2, 4, 6, ...
- El tercer sapo brinca sobre cada tercer foco, o
sea, sobre focos no. 3, 6, 9,...
- El cuarto sapo brinca sobre cada cuarto foco, o
sea, sobre focos no. 4, 8, 12,...
.
.
. (etc)
- El milesimo sapo brinca sobre foco no. 1000.
La pregunta es: ¿ Cuantos focos quedan prendidos?
Solución
- (Oct. 19, 2000) Cinco piratas quieren repartir entre sí 1000 monedas.
Los cinco estan ordenados: num. 1 (el mas grande), num. 2, . . ., hasta
num. 5 (el mas chico). Deciden que el pirata mas chico (num. 5)
empieze por sugerir un esquema para
repartir
el dinero (una serie de 5 enteros no negativos que sumen 1000, las
cantidades de monedas que reciba cada uno de ellos). Despues de
oir
su sugerencia van a votar (todos los 5). Si una mayoría de
los 5 (3 o mas) acepte la sugerencia, reparten las monedas según la
sugrencia de num. 5; si no, matan al pirata num. 5 y dejan al pirata num. 4
sugerir
un esquema para repartir las monedas entre los 4 que
quedan. Si
una mayoria de los 4 (3 o mas) acepten la sugerencia, repartan las
monedas según la
sugerencia; si no, matan al num. 4... Y así siguen hasta
que se repartan las monedas.
Ahora, suponiendo que las prioridades de cada uno de los 5 piratas
son (en este orden)
- vivir,
- ganar dinero,
- matar a sus compañeros
(o sea, entre que viva o muera uno de sus compañeros,
prefiere que muera, pero solo si esto no implica
que él mismo se muera o que pierda dinero),
y que cada uno de los piratas es un ser racional... ¿que va a
sugerir el pirarta num. 5?
Solución
- (Nov. 28, 2000, por Francisco Javier,
franciscogi@yahoo.com). ¿Cuantos números enteros dividen a 20! ?
Solución
- (feb. 25, 2002, por Jorge Vallejo, jivallejop@hotmail.com).
Tres presos, en tres celdas separadas,
pueden ser libres si adivinan el número de árboles del patio de su
prisión, sabiendo que este número puede ser 2, 5 o 9. El primer preso puede ver
solo medio patio, el segundo la otra mitad y el tercero es
ciego. Cada mañana se les pregunta si tienen la respuesta. Si
uno da una respuesta correcta sale libre inmediatamente;
si es incorrecta se muere. De todos modos, los demas presos se enteran si
alguien atrevio a responder o no. Los dias pasan y nadie responde. Al
séptimo día los tres salen libres.
¿Cuantos árboles había en el patio de
la prisión?
- (mar. 15, 2004) 100 hormigas estan colocadas al azar sobre un palo
que mide 1 metro de largo. Cada hormiga empieza a caminar, hacia
la derecha o la izquierda, a una velocidad de 1 metro por
segundo. Cuando encuentra otra hormiga se cambia inmediatamente
de direccion, manteniendo su velocidad. Al llegar a un extremo
del palo se cae. Todas las hormigas empiezan a caminar
simultaneamente. Hay que encotrar el tiempo de espera necesario
para asegurar que todas las hormigas se cayeran.
- (mar. 15, 2004) Esta es un variacion sobre el problema
anterior. Se coloca 1 hormiga en el centro de un palo
que mide 1 metro de largo. Luego se coloca al azar 100 hormigas
mas. Luego cada una de las 101 hormigas escoje al azar una
direccion, derecha o izquierda, y empieza a caminar con una
velocidad de 1 metro por segundo.
Cuando encuentra otra hormiga se cambia inmediatamente
de direccion, manteniendo su velocidad. Al llegar a un extremo
del palo cambia de direccion y empieza a caminar hacia la otra
direccion. Todas las hormigas empiezan a caminar
simultaneamente. Hay que encotrar la probabilidad que la primera
hormiga (la que fue ubicada en el centro del palo) se encuentra
despues de 1 minuto en el lugar donde empez'o ( el centro del
palo).
