- (Dic. 15, 1997) Se dice que una función de dos
variables f(m,n), con m,n números enteros,
es armónica, si su valor en cada punto (m,n) es
el promedio de sus valores en los 4 vecinos más cercanos:
f(m,n)=[f(m+1,n)+ f(m-1,n)+ f(m,n+1)+ f(m,n-1)]/4,
para todos enteros m,n. Se dice que una función f es acotada
si existe un número positivo M tal que el valor absoluto de
f(m,n) es menor que M, para todos enteros
m,n. Demuestra que una función armónica acotada
es constante.
Solución: PDF | PS.
- (Ene. 30, 1998)
Solución
- (Feb. 16, 1998, contribuido por José Luz Hernandez
Castillo de la UNAM.) Calcular el límite
limx→ 0 [x-sen(x)]/x3
por métodos elementales, ie sin usar cálculo
diferencial (derivadas, l'Hospital, serie de Taylor...).
- (Mar. 16, 1998) Dados 17 puntos sobre un círculo de
radio 1 considera el producto de todas las distancias entre pares de
puntos entre estos puntos. Demuestra que este producto está
maximizado por el polígono regular (de 17 vértices), y
encuentra este valor maximal.
Solución: DVI |
PostScript
- (Apr. 23, 1998) Demuestra lo siguiente:
en cualquier momento existen 3 puntos en la tierra que forman los vértices de un triángulo
equilátero con la misma temperatura en los 3 puntos (suponiendo que la temperatura
es una función continua de la tierra -- una esfera -- a los números reales).
- (Sept 11, 1998) Considera a todos las sucesiones de n números
naturales positivos (a1 , a2 ,
. . . , an), tales que la suma de sus recíprocos
satisface
1/a1 + 1/a2 +
. . . + 1/an = 1.
Denota al número de tal sucesiones por An.
Por ejemplo, A1 = A2 = 1, y A3 = 10,
dado por (3,3,3), (2,4,4), (2,3,6), y permutaciones de los últimos dos.
Decide si A10 es par o impar.
- (Nov 9, 1998)
Un polinomio p(x)
al dividirlo entre x-a da un resíduo de a,
al dividirlo entre x-b da un resíduo de b, y
al dividirlo entre x-c da un resíduo de c.
Encuentra el resíduo al dividir p(x) entre
(x-a)(x-b)(x-c).
Solución
- (Nov 27, 1998)
Dado un número complejo a con
|a|>1 y un entero positivo n,
encuentra un polinomio p(z) de grado n
que sea "la mejor aproximacion" de la funcion
f(z) = 1/(z-a) en el disco unitario, en el sentido
siguiente: define la distancia entre dos funciones (acotadas)
f y g,
definadas en el disco unitario {|z| <= 1}, por
||f-g|| = sup { |f(z)-g(z)| | |z| <= 1},
y lo que pedimos es
un polinomio que minimiza la distancia a f, entre todos los polinomios de grado n.
- (Abr 15, 1999) El conejo y la tortuga juegan el siguiente juego:
- El conejo escoje primero dos números naturales b y n, con b > 1 y n > 0, y escribe
el número n en la base b. (Por ejemplo,
n=23 escrito en la base b=3 es 212).
- Luego la tortuga le resta 1 al número.
(En el ejemplo, queda 22, lo cual es 211 en la base 3).
- Luego el conejo lee este
número en la base b+1. (En el ejemplo,
obtenemos 211 en la base 4, lo cual es
37).
- Luego la tortuga le resta 1 al resultado. (En
el ejemplo queda 36, lo cual es 210 en la base 4).
- Luego el conejo
lee el resultado en la base b+2. (En el ejemplo,
obtenemos 210 en la base 5, lo cual es 55.)
- Etcetera (el conejo siempre incrementa la base por 1 y la tortuga siempre le resta al número 1).
La tortuga gana si en algun momento queda 0. Si no, gana el conejo. Demuestra que la tortuga
siempre gana.
Solución
- (agsto 18, 2000. Contribucion de Luis Valdez, valdez@math.utep.edu) Decimos que un punto p dentro de un
triangulo T tiene multiplicidad m si existen exactamente m rectas que
pasan por p y dividen a T en pedazos de areas iguales. Por ejemplo, el
baricentro de T tiene multiplicidad 3.
- Demostrar que la multiplicidad de cualquier punto de T es 1, 2
o 3.
- Describir geometricamente el locus de todos los puntos de T con
cada una de las multiplicidades posibles.
- (marzo 29, 2004) En un conjunto finito no vacio X tenemos dados
unos subconjuntos. Cada uno de los subconjunto tiene un
numero impar de elementos, y cada par de estos subconjuntos tiene un
numero par de elementos en comun (no cero). Determina el
maximo numero posible de elementos en X.
