Otra cara de las matemáticas

Otra cara de las matemáticas, CIMAT, mar-jun 2010.
http://www.cimat.mx/ciencia_para_jovenes/otra_cara

I.- Paradojas del infinito

Suma infinita (Euler): S=1+2+4+8+...=1+2(1+2+4+8+...)=1+2S, así que S=1+2S, o sea 1+2+4+8+...=-1.
Hotel infinito (Hilbert): un hotel tiene una infinidad de cuartos númerados 1, 2, 3,.... El hotel está lleno (todos los cuartos ocupados) ¿Si llegará un cliente nuevo podríamos acomodarlo?
Si: se mueve el cliente del cuarto 1 al de cuarto 2, el de 2 al 3, etc, y así se desocupa el 1.
Jarra y canicas. Supongamos que tenemos una jarra capaz de contener una infinidad de canicas y que tenemos una infinidad de canicas numeradas 1, 2, 3, .... Empezamos a contar y hacemos los siguientes pasos: Al prinicipio las canicas del 1 al 10 se introducen a la jarra. 1/2 segundo despues las canicas 11 al 20 se introducen y la canica 1 se saca. 1/4 segundo despues las canicas 21 al 30 se introducen y la canica 2 se saca. Etc. ¿Cuántas canicas hay en la jarra 1 segundo despues de empezar?
Conjunto de conjuntos (la Paradoja de Russel): el conjunto de todos los conjuntos que no contienen a sí mismo, ¿contiene a sí mismo o no?

II.- Paradojas de probabilidad.

Sobres. Te dan la opción de escoger entre 2 sobres, uno con el doble de dinero del otro sobre. Al elegir uno, te dan la oportunidad de cambiar de sobre. ¿Te conviene cambiar?
El casino de San Petersburg. Te ofrecen entrar al siguiente juego: primero pagas una cierta cantidad para entrar al juego. Luego se lanza una moneda hasta que sale sol. Si sale en la n-sima vez te dan 2ⁿ pesos. ¿Cuánto estas dispuesto a pagar para entrar al juego?
Milagros. El matemático Littlewood ha propuesto el siguiente argumento: digamos que un milagro es un evento que tiene probabilidad de 1 en un millón y suponemos que cada persona experimenta un evento en cada segundo (ver el televisor, dar un paso, abrir un libro, lo que sea...). Suponemos también que un humano está alerta durante 8 horas al día. Entonces en 35 días ha expermentado, bajo estas hipótesis, 1,008, 000 eventos y entonces el valor esperado de milagros que ha visto el humano en este tiempo es al menos 1. Por lo tanto, los milagros son algo común.

III.- Otras paradojas interesantes

Todos los naturales son interesantes: el primer número que no lo fuera sería el primer número aburrido y eso lo hace interesante.
El barbiero. En un pueblo el barbiero rasura a todos los hombres que no se rasuran solos. ¿Quién rasura el barbiero?
El mentiroso. Una persona que dice "soy un mentiroso" ¿dice la veradad?