Quinta sesión (22 abr 2010)

El Triángulo de Pascal

Coloca el número "1" en un papel. Abajo, en segundo renglón, coloca dos "1"s. A partir de allí, cada renglón comienza y termina con un "1", y abajo del punto medio de cada par de números consecutivos del renglón anterior se coloca su suma. El triángulo (infinito) de números obtenido de este modo se conoce como el "triángulo de Pascal".

Algunos patrones y propiedades interesantes

Potencias de 2: Calcula la suma de los números de cada renglón. ¿Será cierto que siempre obtienes una potencia de 2?

Suma de diagonales: la suma de los números en un "diagonal" del triángulo se encuentra en el mismo triángulo...

Otra suma de diagonales: las sumas de los números sobre los "diagonales" en el dibujo son los números de Fibonacci.

Estrella de David: Considera un número d del triángulo de Pascal que esté rodeado por 6 números del triángulo, como se muestra: Entonces el máximo común divisor de a, e, f es el mismo que el máximo común divisor de b, c, g y además aef = bcg. Se llama Estrella de David pues si unes con lineas a, e ,f y b, c, g formando dos triángulos se forma la Estrella de David.

Álgebra

• x + y
• (x + y) ² = x² + 2xy + y²
• (x + y) ³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y ³
• (x + y) ⁴ = x⁴ + 4x³ y + 6x²y² + 4xy³ + y⁴

Otro triángulo

El Triángulo de Sierpinski: empezamos con un triángulo equilátero negro, lo subdividimos en 4 triángulos (marcando los 3 puntos medios de los lados y uniendolos de 2 a 2), quitamos el triángulo de en medio y nos quedamos con 3 triángulos negros denttro del triángulo original . Luego, si repetimos este proceso para cada uno de los 3 triángulos negros, obtenemos 9 triángulitos negros. Seguimos este proceso para los 9 triángulitos... y así seguimos al infinito (ver la animación.) La figura que nos queda se conoce como "el triángulo de Sierpinski". Es un ejemplo de un "fractal" con varias propiedades interesantes. Por ejemplo, su dimensión es fraccional (en cierto sentido preciso): log(3) / log(2) = 1.58...

Pascal y Sierpinski: escogemos algun entero n>0 y marcamos en los primeros 2n reglones del triángulo de Pascal cada entrada impar con triángulo oscuro (ignorando los números pares). Obtenemos un patron parecido al triángulo de Sierpinski. Mientras más grande la n más cerca es el patron obtenido al triángulo de Sierpinski.