Seminario AC/GA, Temporada 2020-2. CIMAT

The Cremona group in dimension $n$ is the subgroup of birational transformation of the projective space $\mathbb{P}^n$. Describing the structure of the Cremona group is a major problem in algebraic geometry. While the theory is well developed in dimension $2$, little is known in dimension $\geq 3$. A natural problem is to construct special subgroups of the Cremona group. In 2013, Blanc described the subgroup of the Cremona group of the plane that preserves the meromorphic volume form  $\omega = \frac{dx}{x} \wedge \frac{dy}{y}$. The form $\omega$ has simple poles exactly along the 3 coordinate lines. The pair $(\mathbb{P}^2, \omega)$ is an example of a Calabi-Yau pair: a pair $(X,D)$ where $X$ is a complex projective variety, and $D$ is the divisor associated to a meromorphic volume form on $X$. Calabi-Yau pairs appear naturally in the context of the Minimal Model Program, and have been much investigated. In this talk, I will explain how one can explore the birational geometry of Calabi-Yau pairs to construct interesting subgroups of the Cremona group in dimension $\geq 3$. This is joint work with Alessio Corti (London, UK) and Alex Massarenti (Ferrara, Italy).

En esta plática vamos a estudiar algunos aspectos geométricos de series lineales completas sobre curvas.  Dado un haz líneal \(L\) libre de puntos base(globalmente generado) sobre una curva \(C\), tenemos un sucesión exacta inducido por el morfismo evaluación de secciones: \[0\longrightarrow M_L\longrightarrow H^0(C,L)\otimes\mathcal O_C\longrightarrow L\longrightarrow0\]

Si el número de secciones de \(H^0(C,L)\) es \(r+1\), entonces \(M_L\) es un haz vectorial de rango \(r\). Introduciremos los conceptos de (semi)estabilidad para haces vectoriales y (semi)estabilidad lineal para series lineales sobre curvas para entender la relación entre la (semi)estabilidad de \(M_L\) y la (semi)estabilidad lineal de la serie lineal \(|L|\). En años recientes se han tenido avances y resultados significativos que dan criterios que dan la equivalencia de estos dos conceptos sobre curvas generales y curvas hiperelípticas. En esta plática daré las ideas para construir un ejemplo de una curva especial (en el sentido de moduli) donde ambos conceptos no son equivalentes, dando así una respuesta negativa a una conjetura de Ernesto Mistretta y Lidia Stoppino. En la construcción del contraejemplo consideraremos la teoría clásica de Brill-Noether de haces líneales sobre curvas y algunos resultados de Claire Voisin sobre variedades de Brill-Noether sobre curvas especiales.

Este es un trabajo en conjunto con Ernesto Mistretta y Hugo Torres López.