La geometría algebraica sobre los números reales es una rama con una enorme tradición y un gran peso histórico, la cual sigue bastante activa en nuestros días. Sin embargo, ésta arrastra varios detallitos derivados principalmente de la extensión de campos \(\mathbb{R}\subset\mathbb{C}\) y del hecho de que la geometría algebraica compleja es demasiado bella y se encuentra bastante desarrollada.
Por ejemplo, estos dos campos admiten la topología Euclideana \(\mathcal{T}_{\infty}\) mediante la cual podemos asociarle a una variedad algebraica real \(X\), un espacio topológico Hausdorff agradable \(X^{\text{an}}\) (su analitificación), la cual podemos considerar como una suerte de variedad diferenciable generalmente disconexa (una vez que le quitamos el posible lugar singular).
De hecho -y sin saberlo- así es como la mayor parte de las personas trabajan este tipo de geometría. Estos pequeños detalles se derivan del hecho de que vemos a la geometría algebraica real como un caso particular de la geometría algebraica compleja, pero esto hace que se pierdan algunos detalles. Esto puede solucionarse mediante el uso correcto de (un poco de) la teoría de esquemas, lo cual introduce algunas imperfecciones que deben ser re-aprendidas, sobre todo cuando venimos del mundo complejo. Por ejemplo, aunque ambas geometrías (real y compleja) se parecen bastante, cualquier resultado de geometría algebraica sobre los complejos que dependa de la propiedad de que el campo base sea algebraicamente cerrado, no son ciertos sobre los reales. Esto incluye resultados básicos como el Teorema de los ceros de Hilbert.
Otra particularidad que aparece es que, a diferencia del caso complejo, los puntos cerrados de las variedades algebraicas reales ya no son democráticos y se dividen en dos tipos: los reales y los no reales. El conjunto de puntos reales de una variedad se llama su parte real, y un tema central es el área es estudio de la topología y geometría de su analitificación. De hecho, uno de los célebres problemas de Hilbert (el XVI) se trata de lo siguiente: ¿cuáles son las posibles topologías de la inmersión proyectiva de una hipersuperficie lisa de grado \(d\)? Esta pregunta tiene sentido para cualquier dimensión, pero la pregunta original estaba formulada sobre los casos de variedades de dimensión uno y dos, es decir, curvas y superficies.
Uno de los métodos más fructíferos para construir hipersuperficies reales con topología controlada es el del pegado (patchworking) de Viro, y fue probado por G. Mikhalkin que este metodo se podía re-formular en términos combinatorios, más específicamente usando el lenguaje de la geometría tropical. Los métodos tropicales han demostrado ser también muy valiosos en otra de las facetas más profundas de la geometría algebraica real: la enumerativa.
El curso se trata de entender la estructura de las variedades algebraicas reales desde diferentes facetas, pero principalmente desde la geometría algebraica, para lo cual se necesitará un poco (no mucho) de teoría de esquemas. Uno de los objetivos es ver a lo complejo como una herramienta de lo real, y no ver a lo real como un caso particular de lo complejo. Lo complejo será nuestro amigo, y una herramienta, pero no el foco.
Posteriormente veremos el aspecto dado por el proceso de analitificación, que nos da una topología más fina que la de Zariski: la euclideana. Este punto de vista tiene mucho sabor proveniente de la teoría de variedades diferenciables (no necesariamente conexas), sobre todo cuando le quitamos a nuestra variedad su lugar singular.
Usaremos estas bases para introducir problemas clásicossobre los cuales la persona interesada pueda trabajar. Los temas principales serán:
Si el tiempo lo permite, veremos algunos otros aspectos relevantes del caso real, como el hecho de ser un campo ordenado (que da lugar a la topología constructiva).
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