La geometría algebraica sobre los complejos (y en menor medida sobre los reales) cuenta con una maravillosa herramienta técnica llamada analitificación, mediante la cual podemos usar la topología euclideana de estos dos campos y asociarle a una variedad algebraica, un espacio topológico Hausdorff agradable en el que podemos realizar argumentos locales con mucha más flexibilidad que en la topología de Zariski.
Por desgracia (o por fortuna) esta herramienta es exclusiva de estos dos campos. Este curso presenta alternativas para hacer este proceso para ciertas topologías en campos definidas por valores absolutos, como en el caso anterior. Esta rama se conoce como Geometría algebraica no-arquimedeana, y tiene vínculos muy fuertes con la combinatoria, los cuales están agrupados bajo el término geometría tropical.
El curso se trata de aplicar técnicas del análisis y la geometría no-arquimedeana para el estudio de las variedades algebraicas definidas sobre campos diferentes de \(\mathbb{C}\) y en \(\mathbb{R}\). La geometría no-arquimedeana tiene reputación de ser díficil, pues trabaja sobre la teoría de esquemas --la cual de por si ya tiene reputación de ser complicada-- por lo cual hemos dividido el curso en dos partes.
La primera parte es una motivación geometrica mediante un vistazo a las dos vertientes principales de la geometría tropical clásica : primero via tropicalización arquimedeana (límite a gran escala de amibas arquimedeanas) y posteriormente por amibas de variedades algebraicas no-arquimedeanas. Esta parte es muy geométrica, consta de muchos ejemplos y no muy complicada de seguir.
En la segunda parte hacemos el vínculo de lo anterior con diferentes teorías de espacios analíticos no-arquimedeanos. Esta parte introduce las álgebras afinoides y sus espectros, los cuales son el alma de la construcción. Al final explicamos el vínculo concreto que existe entre estas dos partes.
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