Álgebra Conmutativa

Datos relevantes

Horario

Libro: Ernst Kunz, Introduction to Commutative Algebra and Algebraic Geometry

Prerequisitos: un curso de álgebra moderna y un poco de topología de conjuntos.

• Álgebra lineal y multilineal de módulos sobre anillos conmutativos,
• topología de conjuntos,
• teoría de anillos conmutativos y de sus ideales, e.g. dominios de factorización única, teoremas de isomorfismo,
• Extensiones de campos (teoría de Galois, extensiones trascendentes).

Se espera que haya un grupo de Classroom común para organizar la información de los cursos.

Motivación

El curso de álgebra conmutativa contenido en el libro propuesto no desarrolla el álgebra conmutativa como disciplina aislada, ni tampoco se enfoca en el estudio de los objetos de interés en la geometría algebraica, sino que se desarrolla alrededor del supuesto de que ciertas áreas de ambas ramas se entienden mejor juntas y no por separado.

A partir de un curso como este, fácilmente se puede profundizar más en cualquiera de estas dos disciplinas.

Temario tentativo

1. Variedades algebraicas. (Variedades afines. Teorema de la base de Hilbert. El Teorema de los ceros de Hilbert. El espectro de un anillo. Variedades Proyectivas.)
2. Dimensión. (Dimension de Krull. Extensiones enteras de anillos. Dimensión de variedades afines y proyectivas.)
3. Localización. Funciones regulares y racionales en variedades algebraicas. (La gavilla de funciones regulares de una variedad. Anillos y móodulos de fracciones. Localización. Suma fibrada y Producto fibrado de módulos.)
4. El principio local-global en álgebra conmutativa. (Yendo de lo local a lo global. Generación de módulos e ideales. Módulos proyectivos.)
5. Sobre el número de ecuaciones necesarias para describir una variedad algebraica. (Anillos y módulos de longitud finita. El teorema del ideal principal de Krull. El anillo graduado y el módulo co-normal de un ideal.)

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