Métodos de teoría de homotopía
Semestre Agosto-Diciembre 2024
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Métodos de teoría de homotopía es un curso de doctorado sobre categorís de modelos y aplicaciones.
Desde el punto de vista teórico, las categorías de modelos sirven para poder aplicar las técnicas de topología algebraica
en otros ámbitos donde exista una noción de equivalencia. En la práctica, también nos sirven para estudiar categorías
homotópicas a través de otras categorías de modelos que tengan categorías homotópicas equivalentes, para definir funtores
derivados en categorías no necesariamente abelianas y para justificar la aparición de construcciones análogas a otras conocidas.
Comenzaremos con el formalismo de categorías de modelos para obtener un punto de vista unificado sobre diferentes teorías de
homotopía que trataremos. Estudiaremos teorías de homotopía de conjuntos simpliciales, espacios topológicos, complejos
de cadena y diagramas de espacios topológicos, entre otras, así como las relaciones entre ellas. Algunas construcciones importantes
que aparecerán son la realización geométrica y la correspondencia de Dold-Kan. La noción de funtor derivado en categorías
de modelos nos será útil para introducir límites y colímites homotópicos.
Las categorías de modelos con estructura adicional resultan todavía más útiles. Entre estas se encuentran las categorías de modelos
propias, cerradas, monoidales, simpliciales, cofibrantemente generadas. Introduciremos estos conceptos junto con ejemplos y no ejemplos, así
como la relación con infinito-categorías. Tambén hablaremos de situaciones donde tenemos una relación de equivalencia, pero no podemos
dar una estructura de categoría de modelos, y lo que se puede hacer en estos casos.
Por último, nos concentraremos en espacios con una acción de un grupo y estudiaremos
su homotopía equivariante, esto es, la versión de teoría de homotopía que
respeta estas acciones. Generalizaremos algunos de los resultados de homotopía no equivariante
y llegaremos a la conclusión de que es conveniente ver los espacios con una acción de un
grupo como diagramas de espacios topológicos sobre la categoría de órbitas, lo cual
nos conectará de nuevo a las categorías de modelos. Si el tiempo lo permite, hablaremos
de cohomología de Bredon y teorías de cohomología equivariante.
Los prerrequisitos del curso son haber tomado un curso de álgebra homológica que haya cubierto
funtores derivados y teoría básica de categorías, y cursos de topología algebraica que hayan
cubierto CW-complejos, complejos simpliciales, (co)homología y grupos de homotopía. Es posible seguir
este curso sin los requisitos de topología algebraica, pero se aprovechará más bajo los requisitos
expuestos.
Para más detalles, revisen el programa semanal.
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- Profesor: José Cantarero
- Clases: Martes y Jueves de 11:00 a 13:00 en el Auditorio de CIMAT Mérida. También en línea, escríbeme para obtener acceso.
- Oficina: 44 (CIMAT Mérida)
- Horas de oficina: Mediante cita previa
- Email: cantarero(arroba)cimat(punto)mx
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Estos serán los libros de texto principales, algunas referencias adicionales pueden ser proporcionadas ocasionalmente en el programa semanal.
- [H] Algebraic topology, de Allen Hatcher.
Este libro se puede descargar gratuitamente aquí.
- [M1] A concise course in algebraic topology, de J. Peter May. Este
libro se puede descargar gratuitamente aquí.
- [S] Algebraic topology, de Edwin Spanier.
- [MP] More concise algebraic topology: Localization, completion and model categories,
de J. Peter May y Kate Ponto.
- [DS] Homotopy theories and model categories, de W. G. Dwyer y J. Spalinski.
- [Ho] Model categories, de Mark Hovey.
- [Hi] Model categories and their localizations, de Philip S. Hirschhorn.
- [R1] Categorical homotopy theory, de Emily Riehl. Este libro se puede descargar gratuitamente aquí.
- [R2] Category theory in context, de Emily Riehl. Este libro se puede descargar gratuitamente aquí.
- [Mac] Categories for the working mathematician, de Saunders MacLane.
- [F] An elementary illustrated introduction to simplicial sets, de Greg Friedmann.
- [GJ] Simplicial homotopy theory, de Paul G. Goerss y John F. Jardine.
- [M2] Simplicial objects in algebraic topology, de J. Peter May. Este
libro se puede descargar gratuitamente aquí.
- [W] An introduction to homological algebra, de Charles A. Weibel.
- [B] Introduction to compact transformation groups, de Glen E. Bredon.
- [M3] Equivariant homotopy and cohomology theory, de J. Peter May.
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Próximamente.
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- Definir una categoría de modelos y demostrar sus propiedades principales.
- Ilustrar los conceptos de fibración, cofibración y equivalencia
en una categoría de modelos.
- Ilustrar los conceptos de objetos fibrantes y cofibrantes en una categoría
de modelos, y de reemplazos fibrantes y cofibrantes.
- Demostrar las distintas estructuras de categorías de modelos de conjuntos
simpliciales, espacios topológicos, complejos de cadena y diagramas de espacios
topológicos.
- Definir límites y colímites, así como sus versiones
homotópicas.
- Demostrar propiedades de límites y colímites homotópicos, y
calcularlos en ciertos casos.
- Definir equivalencias entre categorías de modelos y funtores derivados.
- Calcular funtores derivados en ciertos casos, en particular para complejos de cadena.
- Establecer equivalencias entre diferentes categorías de modelos.
- Demostrar e ilustrar la correspondencia de Dold-Kan.
- Reconocer estructuras adicionales en categorías de modelos.
- Ilustrar situaciones sin estructura de categoría de modelos donde se puede hacer homotopía.
- Describir la relación entre categorías de modelos e infinito-categorías.
- Extender los conceptos de homotopía no equivariante al contexto equivariante.
- Ilustrar y ejemplificar el concepto de espacio clasificante para familias de un grupo.
- Traducir los conceptos de homotopía equivariante en términos de diagramas
de espacios topológicos sobre la categoría de órbitas.
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