Métodos de teoría de homotopía
Semestre Agosto-Diciembre 2024

Content

• Descripción del curso y prerrequisitos
• Sobre las clases
• Libros de texto
• Tareas, exámenes y proyectos
• Objetivos del curso

Descripción del curso y prerrequisitos

Métodos de teoría de homotopía es un curso de doctorado sobre categorís de modelos y aplicaciones. Desde el punto de vista teórico, las categorías de modelos sirven para poder aplicar las técnicas de topología algebraica en otros ámbitos donde exista una noción de equivalencia. En la práctica, también nos sirven para estudiar categorías homotópicas a través de otras categorías de modelos que tengan categorías homotópicas equivalentes, para definir funtores derivados en categorías no necesariamente abelianas y para justificar la aparición de construcciones análogas a otras conocidas.

Comenzaremos con el formalismo de categorías de modelos para obtener un punto de vista unificado sobre diferentes teorías de homotopía que trataremos. Estudiaremos teorías de homotopía de conjuntos simpliciales, espacios topológicos, complejos de cadena y diagramas de espacios topológicos, entre otras, así como las relaciones entre ellas. Algunas construcciones importantes que aparecerán son la realización geométrica y la correspondencia de Dold-Kan. La noción de funtor derivado en categorías de modelos nos será útil para introducir límites y colímites homotópicos.

Las categorías de modelos con estructura adicional resultan todavía más útiles. Entre estas se encuentran las categorías de modelos propias, cerradas, monoidales, simpliciales, cofibrantemente generadas. Introduciremos estos conceptos junto con ejemplos y no ejemplos, así como la relación con infinito-categorías. Tambén hablaremos de situaciones donde tenemos una relación de equivalencia, pero no podemos dar una estructura de categoría de modelos, y lo que se puede hacer en estos casos.

Por último, nos concentraremos en espacios con una acción de un grupo y estudiaremos su homotopía equivariante, esto es, la versión de teoría de homotopía que respeta estas acciones. Generalizaremos algunos de los resultados de homotopía no equivariante y llegaremos a la conclusión de que es conveniente ver los espacios con una acción de un grupo como diagramas de espacios topológicos sobre la categoría de órbitas, lo cual nos conectará de nuevo a las categorías de modelos. Si el tiempo lo permite, hablaremos de cohomología de Bredon y teorías de cohomología equivariante.

Los prerrequisitos del curso son haber tomado un curso de álgebra homológica que haya cubierto funtores derivados y teoría básica de categorías, y cursos de topología algebraica que hayan cubierto CW-complejos, complejos simpliciales, (co)homología y grupos de homotopía. Es posible seguir este curso sin los requisitos de topología algebraica, pero se aprovechará más bajo los requisitos expuestos.

Para más detalles, revisen el programa semanal.

Sobre las clases

• Profesor: José Cantarero
• Clases: Jueves de 13 a 15 y Viernes de 9:00 a 11:00 en el Auditorio de CIMAT Mérida. También en línea, escríbeme para obtener acceso.
• Oficina: 44 (CIMAT Mérida)
• Horas de oficina: Mediante cita previa
• Email: cantarero(arroba)cimat(punto)mx

Libros de texto

• [H] Algebraic topology, de Allen Hatcher. Este libro se puede descargar gratuitamente aquí.
• [M1] A concise course in algebraic topology, de J. Peter May. Este libro se puede descargar gratuitamente aquí.
• [S] Algebraic topology, de Edwin Spanier.
• [MP] More concise algebraic topology: Localization, completion and model categories, de J. Peter May y Kate Ponto.
• [DS] Homotopy theories and model categories, de W. G. Dwyer y J. Spalinski.
• [Ho] Model categories, de Mark Hovey.
• [Hi] Model categories and their localizations, de Philip S. Hirschhorn.
• [R1] Categorical homotopy theory, de Emily Riehl. Este libro se puede descargar gratuitamente aquí.
• [R2] Category theory in context, de Emily Riehl. Este libro se puede descargar gratuitamente aquí.
• [Mac] Categories for the working mathematician, de Saunders MacLane.
• [F] An elementary illustrated introduction to simplicial sets, de Greg Friedmann.
• [GJ] Simplicial homotopy theory, de Paul G. Goerss y John F. Jardine.
• [M2] Simplicial objects in algebraic topology, de J. Peter May. Este libro se puede descargar gratuitamente aquí.
• [W] An introduction to homological algebra, de Charles A. Weibel.
• [B] Introduction to compact transformation groups, de Glen E. Bredon.
• [M3] Equivariant homotopy and cohomology theory, de J. Peter May.

Tareas, exámenes y proyectos

En este curso, las tareas forman un papel complementario a las lecciones, por ejemplo algunas partes de las demostraciones de los resultados en clase se dejarán de tarea. Por lo tanto, es imprescindible dedicarles un tiempo considerable para tener la experiencia completa. A menos que se diga lo contrario, debes justificar todos tus pasos.

Las tareas que se entreguen tarde no serán aceptadas. Puedes discutir los problemas con tus compañeros, pero debes intentarlos primero tú solo, y también trabajar solo cuando los estés escribiendo.

Objetivos del curso

• Definir una categoría de modelos y demostrar sus propiedades principales.
• Ilustrar los conceptos de fibración, cofibración y equivalencia en una categoría de modelos.
• Ilustrar los conceptos de objetos fibrantes y cofibrantes en una categoría de modelos, y de reemplazos fibrantes y cofibrantes.
• Demostrar las distintas estructuras de categorías de modelos de conjuntos simpliciales, espacios topológicos, complejos de cadena y diagramas de espacios topológicos.
• Definir límites y colímites, así como sus versiones homotópicas.
• Demostrar propiedades de límites y colímites homotópicos, y calcularlos en ciertos casos.
• Definir equivalencias entre categorías de modelos y funtores derivados.
• Calcular funtores derivados en ciertos casos, en particular para complejos de cadena.
• Establecer equivalencias entre diferentes categorías de modelos.
• Demostrar e ilustrar la correspondencia de Dold-Kan.
• Reconocer estructuras adicionales en categorías de modelos.
• Ilustrar situaciones sin estructura de categoría de modelos donde se puede hacer homotopía.
• Describir la relación entre categorías de modelos e infinito-categorías.
• Extender los conceptos de homotopía no equivariante al contexto equivariante.
• Ilustrar y ejemplificar el concepto de espacio clasificante para familias de un grupo.
• Traducir los conceptos de homotopía equivariante en términos de diagramas de espacios topológicos sobre la categoría de órbitas.