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Álgebra homológica es un curso de licenciatura sobre fenómenos homológicos en álgebra, con
énfasis en funtores derivados. Es importante entender estos fenómenos pues ocurren en diversas áreas, como
teoría de representaciones, teoría de grupos, topología algebraica, geometría algebraica, geometría
diferencial y álgebra conmutativa. De manera inicial, el álgebra homológica estudia transformaciones entre
R-módulos que preservan la estructura lineal. Para ello, extiende estas transformaciones a unos objetos llamados complejos
de cadena para los cuales tiene sentido hablar de homología y se pregunta si preservan la homología.
Comenzaremos con una introducción a la teoría de R-módulos, que generalizan al mismo tiempo los grupos
abelianos y los espacios vectoriales. Varios tipos de módulos serán particularmente importantes y les dedicaremos
un buen tiempo, estos serán los módulos libres, proyectivos e inyectivos. Para poder hablar adecuadamente sobre sus
propiedades, introduciremos el lenguaje de categorías, funtores y transformaciones naturales. De manera natural, aparecerá
la primera transformación de la cual estudiaremos su exactitud luego, el funtor Hom.
Tras ello podremos hablar de complejos de cadena y sucesiones exactas, los protagonistas de esta materia. Aprenderemos a calcular
homología de complejos y sus propiedades, y a usar sucesiones exactas para resolver problemas. Demostraremos los teoremas fundamentales del álgebra
homológica, como el lema de los cinco, el lema de la serpiente y la sucesión exacta larga asociada a una sucesión
exacta corta de complejos. Seguidamente introduciremos el concepto de resolución, una manera de descomponer un módulo para entenderlo
mejor.
En este punto estaremos listo para hablar de funtores derivados. Por facilidad, comenzaremos con el producto tensorial, el
cual definiremos y motivaremos. Tras establecer sus propiedades principales y realizar cálculos, veremos que no preserva
homología y esto nos dará la oportunidad de hablar de su funtor derivado Tor, que en cierto sentido soluciona esto.
Después haremos lo mismo para el funtor Hom en cada una de sus dos coordenadas, que presenta un comportamiento parecido,
pero con la peculiaridad de que en una de sus coordenadas es contravariante, invierte el sentido de los morfismos en los diagramas.
Finalmente, hasta donde el tiempo nos lo permita hablaremos de límites, colímites y sus funtores derivados. Igualmente
sobre casi-isomorfismos y un punto de vista moderno de los funtores derivados mediante categorías derivadas. A lo largo del curso
también se darán ejemplos de construcciones homológicas que provienen de otras áreas sin detalles, y algunos
de ellos estarán disponibles para proyectos finales en los cuales se podrá ahondar en estos detalles.
Los prerrequisitos del curso son haber tomado los cursos de Álgebra Lineal I y II, y Álgebra Abstracta I. No es necesario
haber tomado Álgebra Abstracta II, pero en caso de no haberla tomado se recomienda tomarla de manera concurrente.
Para más detalles, revisen el programa semanal.
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En este curso, las tareas forman un papel complementario a las lecciones, por ejemplo algunas
partes de las demostraciones de los resultados en clase se dejarán de tarea. Por lo tanto, es
imprescindible dedicarles un tiempo considerable para tener la experiencia completa.
A menos que se diga lo contrario, debes justificar todos tus pasos.
Las tareas que se entreguen tarde no serán aceptadas. Puedes discutir los problemas
con tus compañeros, pero debes intentarlos primero tú solo, y también
trabajar solo cuando los estés escribiendo. Las soluciones se subirán a la página
web del curso poco después de la hora de entrega. Habrá seis tareas en total.
Aparte de esto habrá un examen parcial el 19 de marzo. Tras el examen
parcial cada estudiante decidirá si prefiere hacer un examen final o presentar un proyecto final,
que consistirá de un escrito sobre uno de los temas adicionales y una presentación oral.
Los exámenes serán individuales, pero se podrá usar libros, apuntes y dispositivos
sin conexión a internet.
Las calificaciones se basarán en los siguientes porcentajes:
- Tareas: 40%
- Examen parcial: 30%
- Examen final/Proyecto final: 30%
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