Álgebra homológica avanzada
Semestre Agosto-Diciembre 2025
CIMAT/Universidad de Guadalajara

Content

• Descripción del curso y prerrequisitos
• Sobre las clases
• Libros de texto
• Tareas
• Objetivos del curso

Descripción del curso y prerrequisitos

Álgebra homológica avanzada es un curso de maestría de álgebra homológica. El álgebra homológica estudia situaciones donde aparecen complejos de cadena en diferentes contextos, principalmente en disciplinas geométricas, donde la filtración secuencial o dimensional de información da lugar a complejos de cadena, aunque también juega un papel importante en varias áreas de álgebra, como álgebra conmutativa y teoría de grupos. Este es un segundo curso en álgebra homológica, así que supondremos conocidos los siguientes fundamentos: complejos de cadena y cocadena, sucesiones exactas, homología y homotopía de complejos, los lemas fundamentales, módulos proyectivos, libres e inyectivos, funtores derivados en general y los funtores Tor y Ext.

Comenzaremos el curso con un breve repaso de dichos temas, tras lo cual estableceremos varios marcos teóricos de los que se ocupa esta rama, categorías abelianas, derivadas, trianguladas y de modelos. Seguidamente estudiaremos otros funtores derivados importantes en álgebra, geometría y topología, como los límites y colímites superiores, homología y cohomología de grupos, cohomología de gavillas y cohomología de Hochschild. En todos estos temas se estresarán los métodos de cálculo, por lo cual también aprenderemos a usar sucesiones espectrales. Aunque los ejemplos de uso de las sucesiones espectrales estarán sacados de la topología algebraica, especialmente la asociada a una filtración, se señalarán los puntos comunes a toda sucesión espectral.

Finalmente, también incluimos la K-teoría algebraica como uno de los temas. Aunque los grupos de K-teoría algebraica no son funtores derivados, aparecen de manera natural al considerar categorías abelianas y exactas, siendo receptores de obstrucciones y numerosos usos en topología y geometría. Para un temario más detallado, ver los objetivos del curso y el programa semanal.

Sobre las clases

• Profesor: José Cantarero
• Clases: Lunes y Miércoles de 11 a 13 (por confirmar)
• Oficina: 44 (CIMAT Mérida)
• Horas de oficina: Mediante cita previa
• Email: cantarero(arroba)cimat(punto)mx

Libros de texto

• An introduction to homological algebra, de C.A. Weibel. Esta será la referencia principal.
• An introduction to homological algebra, de J.J. Rotman.
• Lecture notes on classifying spaces, de J. Cantarero.
• Cohomology of groups, de K.S. Brown.
• Cohomology of finite groups, de A. Adem y R.J. Milgram.
• Representations and cohomology I, de D.J. Benson.
• Representations and cohomology II, de D.J. Benson.
• A user's guide to spectral sequences, de J. McCleary.
• Spectral sequences in algebraic topology, de A. Hatcher.
• The K-book: an introduction to algebraic K-theory, de C.A. Weibel.
• Representations and cohomology of finite categories, de F. Xu.
• Homotopical algebra, de D. Quillen.
• Homological methods in commutative algebra, de A. Ferretti.
• Model categories, de M. Hovey.
• Foundations of relative homological algebra, de S. Eilenberg y J.C. Moore.
• More concise algebraic topology, de J.P. May y K. Ponto.

Tareas

TBA

Objetivos del curso

• Ilustrar los conceptos de categoría derivada, abeliana, de modelos, exacta y triangulada.
• Establecer relaciones entre las categorías mencionadas y explicar sus motivaciones.
• Definir funtores derivados en categorías derivadas, abelianas y de modelos, y demostrar sus propiedades principales.
• Relacionar la (co)homología de categorías con los (co)límites superiores, así como con la cohomología de gavillas.
• Realizar cálculos de (co)homología de categorías y grupos usando resoluciones.
• Demostrar e ilustrar las propiedades principales de la (co)homologí de categorías y grupos.
• Calcular grupos de (co)homología y funtores derivados usando sucesiones espectrales.
• Calcular grupos de homotopía usando sucesiones espectrales.
• Ilustrar los conceptos de sucesión espectral y los elementos de esta herramientas, como convergencia, colapso, indeterminación, módulos graduados asociados.
• Motivar el uso de la K-teoría algebraica y conocer las herramientas de cálculo de esta herramienta.
• Relacionar la K-teoría algebraica con la K-teoría topológica, así como con gavillas (casi)-coherentes.
• Relacionar la cohomología de gavillas con la cohomología singular, con coeficientes locales, de Cech, de grupos, de categorías.
• Definir los conceptos principales de la teoría de gavillas y conocer su motivación.
• Definir la cohomología de Hochschild y realizar cálculos para el anillo de grupo.
• Conocer otros funtores derivados en álgebra conmutativa, tales como la cohomología local, y sus aplicaciones.