Homotopía equivariante
Semestre Enero-Junio 2025

Content

• Descripción del curso y prerrequisitos
• Sobre las clases
• Libros de texto
• Presentaciones
• Objetivos del curso

Descripción del curso y prerrequisitos

Homotopía equivariante es un curso de maestría y doctorado de topología algebraica. La topología algebraica es el estudio de invariantes homotópicos, es decir, objetos algebraicos asociados a espacios topológicos que son invariantes bajo deformaciones continuas. En este curso estudiaremos espacios topológicos con acciones de grupos e invariantes homotópicos equivariantes, con enfásis en los de tipo cohomológicos. Los prerrequisitos son haber llevado cursos sobre teoría de homotopía a nivel superior. Es recomendable, pero no estrictamente necesario, manejar la teoría de haces fibrados y su clasificación mediante espacios clasificantes.

Comenzaremos viendo los análogos equivariantes de los principales teoremas en teoría de homotopía. Para ello, asociaremos un diagrama sobre la categoría de órbitas a cada espacio con una acción. Después introduciremos los distintos tipos de teorías de cohomología equivariante, que dividimos en genuinas, de Borel, de Bredon y de Tate. Estudiaremos sus diferencias y las relaciones que satisfacen, así como métodos para calcularlas.

Al estudiar cohomología de Borel, nos aparecerá el espacio clasificante de un grupo. Estudiaremos más generalmente espacios clasificantes para familias, su motivación, construcciones y relaciones entre ellos. Esto nos llevará de manera natural a repasar la clasificación de haces principales y haces asociados, y posteriormente haces equivariantes y su clasificación mediante espacios clasificantes equivariantes.

Finalmente trataremos el teorema de Elmendorff, que nos dirá que no hemos perdido nada al tratar a los espacios con acciones como diagramas sobre la categoría de órbitas. Para hablar de este teorema, será necesario estudiar en detalle los colímites y límites homotópicos. También usaremos este lenguaje para discutir puntos fijos homotópicos y cocientes homotópicos, y su relación con los correspondientes conceptos rígidos.

Para un temario más detallado, ver los objetivos del curso y el programa semanal.

Sobre las clases

• Profesor: José Cantarero
• Clases: Martes y Jueves 9:30-11:30. Presentaciones Viernes 9:30-11:30 (Tentativo)
• Oficina: 44 (CIMAT Mérida)
• Horas de oficina: Mediante cita previa
• Email: cantarero(arroba)cimat(punto)mx

Libros de texto

• Equivariant homotopy and cohomology theory, de J.P. May. Esta será la referencia principal.
• Lecture notes on classifying spaces, de J. Cantarero.
• Cohomology of groups, de K.S. Brown.
• Cohomology of finite groups, de A. Adem y R.J. Milgram.
• Representations and cohomology I, de D.J. Benson.
• Representations and cohomology II, de D.J. Benson.
• Equivariant cohomology theories, de G.E. Bredon.
• Introduction to compact transformation groups, de G.E. Bredon.
• Transformation groups, de T. tom Dieck.
• A concise course in algebraic topology, de J.P. May.
• More concise algebraic topology: localization, completion and model categories, de J.P. May y K. Ponto.
• Homotopy limits, completions and localizations, de A.K. Bousfield y D.M. Kan.
• Equivariant stable homotopy theory and the Kervaire invariant problem, de M.A. Hill, M.J. Hopkins y D.C. Ravenel.
• Prerequisites (on equivariant stable homotopy) for Carlsson's lecture, de J.F. Adams.
• Topology of Lie groups I and II, de M. Mimura e H. Toda.
• Group actions on manifolds, de E. Meinrenken.

Presentaciones

En este curso cada participante hará tres presentaciones sobre temas de homotopía equivariante y relacionados. Las presentaciones son parte del curso para el resto de participantes también. He aquí una lista no exhaustiva de posibles temas.

• Acciones libres de grupos sobre esferas
• Teoría de Smith
• Funciones entre espacios clasificantes
• Cohomología de Tate
• Funtores de Mackey y Tambara
• K-teoría equivariante
• Cobordismo equivariante
• Extensiones de grupos y cohomología de grupos
• Teoremas de completación para teorías de cohomología equivariante
• Homotopía estable equivariante
• Cohomología RO(G)-graduada
• Funtores de inflación, deflación y biconjuntos
• Grupos p-compactos
• Grupos p-locales finitos y compactos
• Morfismos de transfer
• Homotopía de grupos compactos de Lie
• Demostración de teoremas de existencia de rebanadas
• Condiciones de finitud
• La conjetura de Baum-Connes
• La conjetura de Eilenberg-Ganea
• Grafos de Cayley y teoría geométrica de grupos
• K-teoría algebraica de anillos de grupo, grupos de Whitehead
• La conjetura de asfericidad de Whitehead
• L-teoría para anillos de grupo y homotopía simple
• La conjetura de Borel sobre variedades asféricas
• H-espacios y espacios de lazos

Objetivos del curso

• Ilustrar los conceptos de equivalencia homotópica equivariante y equivalencia débil equivariante.
• Ilustrar los conceptos de puntos fijos, isotropía, G-CW-complejos.
• Enunciar y demostrar los análogos de los teoremas clásicos de teoría de homotopía en el contexto equivariante.
• Asociar a una acción un diagrama de espacios sobre la categoría de órbitas.
• Ilustrar las diferencias y las relaciones entre las teorías de cohomología de Borel, genuinas, de Bredon y de Tate.
• Calcular grupos de (co)homología de Bredon.
• Calcular grupos de cohomologías equivariantes generalizadas usando sucesiones espectrales.
• Enunciar y demostrar el teorema de Elmendorff.
• Determinar y construir espacios clasificantes de grupos respecto a familias.
• Relacionar la homología y cohomología de espacios clasificantes con construcciones de álgebra homológica.
• Calcular (co)homología con coeficientes locales usando cohomología de grupos.
• Ilustrar el concepto de haz equivariante y cómo clasificarlos.
• Construir espacios clasificantes equivariantes y reconocer sus tipos de homotopía equivariante.
• Ilustrar las diferencias y las relaciones entre los puntos fijos y cocientes con sus versiones homotópicas.